ТОЖДЕСТВО

Материал из Юнциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Тождество - запись вида А = В, где А и В - выражения, принимающие одинаковые значения при всех значениях входящих в А и В переменных, взятых из некоторого множества М. Например, равенство

(m2 - n2)2 + (2mn)2 = (m2 + n2)2

является тождеством (на множестве всех действительных чисел). Это тождество позволяет построить бесконечно много прямоугольных треугольников с целыми сторонами. Например, при m = 2, n = 1 получаем: З2 + 42 = 52, а при m = 3, n = 2 получаем: 52 + 122 = 132. Равенство

m3 + n3 = (m + n)(m2 - mn + n2)

также является тождеством на множестве всех действительных чисел; из него вытекает, в частности, что при целых m и n число m3 + n3 делится нацело на m + n.

Будет ли равенство А = В тождеством, зависит от того, из какого множества выбираются значения переменных. Например, равенство √(x2) = x является тождеством на множестве всех неотрицательных действительных чисел, но не является тождеством на множестве всех действительных чисел.

Обычно в качестве множества М возможных значений переменных рассматривают множество всех тех значений переменных, при которых оба выражения А и В имеют смысл. Отметим, что это соглашение требует известной осторожности при обращении с тождествами. Например, согласно этому соглашению равенства √(x2) = (√x)2 и (√x)2 = х являются тождествами, а равенство √(x2) = х тождеством не является. Если выражения А и В тождественно равны, то это записывают формулой А ≡ В.