СФЕРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Сферическая геометрия - раздел математики, в котором изучаются фигуры, расположенные на сфере (см. Сфера и шар). Сферическая геометрия возникла в связи с потребностями астрономии.

Роль прямых в сферической геометрии играют большие окружности, т. е. окружности, получающиеся в пересечении сферы с плоскостями, проходящими через центр сферы. Через две не являющиеся диаметрально противоположными точки сферы А и В можно провести единственную большую окружность (рис. 1), что вполне соответствует аксиоме планиметрии. Точки А и В разбивают эту большую окружность на две дуги-два сферических отрезка, меньший из которых является кратчайшей линией на сфере, соединяющей А с В. Длину сферического отрезка удобно измерять величиной угла, под которым он виден из центра сферы (рис. 1). Если углы измерять в радианах (см. Угол), то на сфере радиуса 1 такое измерение отрезка равно обычной длине дуги.

В сферической геометрии в отличие от планиметрии отсутствуют параллельные сферические прямые: любые две большие окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных точках сферы (рис. 2). Угол между сферическими прямыми - большими окружностями - определяется как угол между их плоскостями, или, что то же самое, как угол между касательными к этим окружностям в точке их пересечения (рис. 2).

Если провести на сфере три большие окружности (рис. 3), то сфера разобьется на восемь треугольников. В отличие от планиметрии сумма углов любого сферического треугольника больше 180°, или π, причем она не постоянна, а зйвисит от площади треугольника. А именно площадь треугольника на сфере радиуса 1 связана с суммой его углов А, В и С формулой Жирара (А. Жирар - нидерландский математик, 1595-1632):

S_abc = A + В + С - π

(углы А, В, С измеряются в радианах).

Для сферических треугольников справедливы три известных в планиметрии признака равенства: по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим к ней углам, по трем сторонам. На сфере справедлив еще один признак равенства треугольников-по трем углам. Подобных, но не равных между собой сферических треугольников не существует. Для сферических треугольников, однако, остаются справедливыми многие теоремы планиметрии, например теоремы о пересечении в одной точке серединных перпендикуляров к сторонам, биссектрис внутренних углов, медиан и даже высот, лишь с той разницей, что эти линии дают сразу по две диаметрально противоположные точки пересечения. Теоремы косинусов и синусов в сферической геометрии приобретают несколько необычный вид: для треугольника ЛВС с углами А, В, С и противолежащими сторонами соответственно a, b и с (напомним, что стороны измеряются как соответствующие центральные углы):

cos с = cos a • cos b + sin a • sin b • cos С (теорема косинусов) и

sin a/sin A = sin b/sin В = sin с/sin С (теорема синусов).

Сферическая геометрия представляет собой своеобразный мост между планиметрией и стереометрией, так как сферические многоугольники получаются в пересечении сферы с многогранными углами с вершинами в центре сферы, сферические окружности - в пересечении сферы с коническими поверхностями и т.д. (рис. 4). Все теоремы о сферических треугольниках можно переформулировать в терминах трехгранных углов; в частности, две последние формулы часто называют теоремами косинусов и синусов для трехгранного угла (рис. 5).

Интересно, что исторически эти теоремы предшествовали аналогичным теоремам плоской тригонометрии, поскольку потребность людей в знаниях по астрономии, необходимых для исчисления времени, возникла прежде других потребностей человека, связанных с измерением углов. Исходя из геоцентрической гипотезы Вселенной, древнегреческие астрономы рассматривали Землю как шар, находящийся в центре небесной сферы, которая равномерно вращается около своей оси. При изучении закономерностей движения светил возникли многочисленные математические задачи, связанные со свойствами сферы и фигур, которые образуют на ней большие окружности.

Автором первого капитального сочинения о «сферике» - так называли сферическую геометрию древние греки-был, по-видимому, математик и астроном Евдокс Книдский (ок. 408-355 гг. до н. э.). Но самым значительным произведением была «Сферика» Менелая Александрийского, греческого ученого, жившего в I в., который обобщил результаты своих предшественников и получил большое количество новых результатов. Построена его книга аналогично «Началам» Евклида, и долгое время она служила учебником для астрономов. В IX-XIII вв. «Сферика», переведенная на арабский язык, внимательно изучалась математиками Ближнего и Среднего Востока, откуда в XII в., в переводе с арабского, стала известна в Европе.

Сферическая геометрия нужна не только астрономам, штурманам морских кораблей, самолетов, космических кораблей, которые по звездам определяют свои координаты, но и строителям шахт, метрополитенов, тоннелей, а также при геодезических съемках больших территорий поверхности Земли, когда становится необходимым учитывать ее шарообразность.