ПРОЕКЦИЯ

Проекцию фигуры (или тела) в пространстве можно представить себе как тень, отбрасываемую этой фигурой. За этим наглядным образом стоит несколько различных понятий: прямоугольная, или ортогональная, проекция, параллельная проекция, центральная проекция и др. Эти понятия широко используются в геометрии и других разделах математики, черчении, архитектуре и изобразительном искусстве, технике, географии, физике и астрономии. Не случайно и слово «проекция» и слово «проект» происходят от латинского слова projectio - «бросание вперед». Составляя описание будущего здания, сооружения, механизма-его проект, чертят план или общий вид - проекцию.

Определения разных видов проекций совпадают в одном: проекция фигуры-это множество проекций всех отдельных точек фигуры; при этом, конечно, разные точки могут проектироваться в одну.

В школьном курсе математики и в техническом черчении мы прежде всего встречаемся с прямоугольной проекцией. Пусть на плоскости задана прямая l. Проекцией точки М на прямую l называется основание М' перпендикуляра ММ', проведенного из М к этой прямой. Например, проекцией круга на прямую в его плоскости будет всегда отрезок, равный по длине диаметру этого круга. Проекция на ось Ох точки (х, у) - это точка с координатой х; таким образом, проекцией графика функции у = f(х) на ось Ох служит область определения этой функции на ось Оу - множество ее значений (рис. 1 ,я). Проекция отрезка АВ на ось Ох - отрезок длины АВ•cos α, а на оси Оу - отрезок длины АВ•sin α, где α - величина угла между прямой АВ и осью Ох (рис. 1,6).

Аналогично определяется прямоугольная (ортогональная) проекция в пространстве: проекция точки М на плоскость р - основание М' перпендикуляра ММ'⊥р. Площадь плоской фигуры при проектировании умножается на cos α, где α - величина угла между плоскостью фигуры и плоскостью ее проекции. Проекцией параллелепипеда на плоскость будет в общем случае шестиугольник (составленный из трех параллелограммов - проекций трех граней); в частном случае он может выродиться в параллелограмм. В одной из задач Московской математической олимпиады школьников спрашивалось: при каком положении прямоугольного параллелепипеда площадь его проекции на горизонтальную плоскость будет наибольшей? Для ее решения (рис. 2) достаточно сравнить площадь проекции S' с площадью треугольника А'В'С, являющегося проекцией сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через три несмежные вершины А, В, С : S' = 2S_A'B'C' и S_A'B'C' ≤ S_ABC, причем равенство достигается тогда, когда плоскость ABC горизонтальна; в этом положении площадь S' и будет наибольшей.

Наряду с проекцией на плоскость можно говорить также о проекции на прямую l в пространстве. Ортогональная проекция точки М на прямую l-это точка М' пересечения l с плоскостью, проходящей через М и перпендикулярной l; например, проекция точки (х, у, z) пространства Oxyz на ось Oz- это точка на оси Oz с координатой z, а ее проекция на плоскость Оху - точка с координатами (х, у). Аналогичная связь имеется между координатами вектора и координатами его проекций.

Прямоугольную проекцию тела на горизонтальную плоскость можно сравнить с его тенью от солнца, находящегося в зените. Если же солнце склоняется к горизонту, тень удлиняется. Эта тень и будет наклонной или параллельной проекцией на горизонтальную плоскость р по направлению α (α-прямая, задающая направление солнечных лучей); проекцией точки М при параллельной проекции по направлению α называется точка пересечения плоскости р с прямой, проходящей через М и параллельной α.

В технических чертежах часто приводят три проекции детали на взаимно ортогональные плоскости Ozy, Оух, Oxz (рис. 3): вид спереди (анфас), вид сверху (план) и вид сбоку (профиль). Но для большей наглядности рядом помещают еще аксонометрическое изображение детали-ее параллельную проекцию на некоторую «наклонную» плоскость вместе с проекциями на эту плоскость трех осей Ох, Оу, Oz. Конечно, одна аксонометрическая проекция еще не задает формы тела и его расположения по отношению к осям координат, поэтому часто вместе с ней чертят также вторичную проекцию: аксонометрическое изображение одной из проекций тела и основных проецирующих лучей (на рис. 4 показана аксонометрия тела и его проекция на плоскость Оху).

При параллельной проекции, (разумеется, как и при ортогональной) искажаются углы между прямыми, но выполняются такие условия: (1) параллельные прямые переходят в параллельные прямые; (2) сохраняются отношения длин параллельных отрезков (и отрезков одной прямой); (3) площади фигур, расположенных в одной плоскости, уменьшаются в одном и том же отношении. Пользуясь свойствами (1), (2) и зная проекции четырех точек А, В, С, О в пространстве, не лежащих в одной плоскости (или, что то же самое, зная проекции трех непараллельных одной плоскости векторов OA^→, OB^→, ОС^→), можно построить проекцию любой другой точки. При этом проекции А', В', С', О' могут занимать произвольные положения: для любого тетраэдра и любых четырех точек плоскости А', В', С', О' можно расположить в пространстве тетраэдр АВСО, подобный данному, вершины которого проецируются как раз в точки А', В', С', О'. Этот факт называется теоремой Польке -Шварца, по именам немецких математиков К. Польке и Г. Шварца, доказавших ее в середине XIX в.

Параллельная проекция плоскости на другую плоскость определяется образами О', А', В' трёх точек О, А, В (двух векторов OA^→ и OB^→); точка М, для которой ОМ^→ = хОА^→ + + уОВ^→, переходит в точку М', для которой О'М'^→ = хO'А'^→ + уО'В'^→. Свойства (1), (2), (3) показывают, что такая проекция - аффинное отображение одной плоскости на другую (и любое аффинное преобразование можно получить как композицию параллельных проекций (см. Геометрические преобразования).

Но свойства (1)-(3) уже не будут выполняться для центральной проекции. Центральной проекцией точки М с центром S на плоскость р называется точка М' пересечения прямой MS с плоскостью р. С этим видом проекции мы также сталкиваемся на каждом шагу. Тень от лампы, которую отбрасывает предмет на стену (рис. 5),- пример, когда фигура расположена между центром S и плоскостью проекции. Изображение в фотоаппарате (с некоторым приближением)-центральная проекция, центр которой расположен между предметом и плоскостью проекций р (изображение здесь получается перевернутым, рис. 6). Центральная проекция (ее также называют «линейная перспектива») играет большую роль и в изобразительном искусстве: скажем, рисуя на картине тень человека, отбрасываемую на асфальт от уличного фонаря, мы имеем дело с композицией двух центральных проекций: одна - проекция человека с центром в лампочке фонаря на плоскость тротуара, вторая-проекция тени с центром в глазу художника на плоскость холста. Тут может спасти от ошибки лишь одно главное свойство центральной проекции: любую прямую она переводит в прямую. Изображением окружности при центральной проекции может быть не только эллипс (как при ортогональной или параллельной проекции), но также парабола или гипербола (рис. 7). Свойства фигур, сохраняющиеся при центральном проектировании,- предмет изучения проективной геометрии.