ПРОЕКЦИЯ

Материал из Юнциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Проекцию фигуры (или тела) в пространстве можно представить себе как тень, отбрасываемую этой фигурой. За этим наглядным образом стоит несколько различных понятий: прямоугольная, или ортогональная, проекция, параллельная проекция, центральная проекция и др. Эти понятия широко используются в геометрии и других разделах математики, черчении, архитектуре и изобразительном искусстве, технике, географии, физике и астрономии. Не случайно и слово «проекция» и слово «проект» происходят от латинского слова projectio - «бросание вперед». Составляя описание будущего здания, сооружения, механизма-его проект, чертят план или общий вид - проекцию.

Определения разных видов проекций совпадают в одном: проекция фигуры-это множество проекций всех отдельных точек фигуры; при этом, конечно, разные точки могут проектироваться в одну.

В школьном курсе математики и в техническом черчении мы прежде всего встречаемся с прямоугольной проекцией. Пусть на плоскости задана прямая l. Проекцией точки М на прямую l называется основание М' перпендикуляра ММ', проведенного из М к этой прямой. Например, проекцией круга на прямую в его плоскости будет всегда отрезок, равный по длине диаметру этого круга. Проекция на ось Ох точки (х, у) - это точка с координатой х; таким образом, проекцией графика функции у = f(х) на ось Ох служит область определения этой функции на ось Оу - множество ее значений (рис. 1 ,я). Проекция отрезка АВ на ось Ох - отрезок длины АВ•cos α, а на оси Оу - отрезок длины АВ•sin α, где α - величина угла между прямой АВ и осью Ох (рис. 1,6).

Аналогично определяется прямоугольная (ортогональная) проекция в пространстве: проекция точки М на плоскость р - основание М' перпендикуляра ММ'⊥р. Площадь плоской фигуры при проектировании умножается на cos α, где α - величина угла между плоскостью фигуры и плоскостью ее проекции. Проекцией параллелепипеда на плоскость будет в общем случае шестиугольник (составленный из трех параллелограммов - проекций трех граней); в частном случае он может выродиться в параллелограмм. В одной из задач Московской математической олимпиады школьников спрашивалось: при каком положении прямоугольного параллелепипеда площадь его проекции на горизонтальную плоскость будет наибольшей? Для ее решения (рис. 2) достаточно сравнить площадь проекции S' с площадью треугольника А'В'С, являющегося проекцией сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через три несмежные вершины А, В, С : S' = 2SA'B'C' и SA'B'C' ≤ SABC, причем равенство достигается тогда, когда плоскость ABC горизонтальна; в этом положении площадь S' и будет наибольшей.

Наряду с проекцией на плоскость можно говорить также о проекции на прямую l в пространстве. Ортогональная проекция точки М на прямую l-это точка М' пересечения l с плоскостью, проходящей через М и перпендикулярной l; например, проекция точки (х, у, z) пространства Oxyz на ось Oz- это точка на оси Oz с координатой z, а ее проекция на плоскость Оху - точка с координатами (х, у). Аналогичная связь имеется между координатами вектора и координатами его проекций.

Прямоугольную проекцию тела на горизонтальную плоскость можно сравнить с его тенью от солнца, находящегося в зените. Если же солнце склоняется к горизонту, тень удлиняется. Эта тень и будет наклонной или параллельной проекцией на горизонтальную плоскость р по направлению α (α-прямая, задающая направление солнечных лучей); проекцией точки М при параллельной проекции по направлению α называется точка пересечения плоскости р с прямой, проходящей через М и параллельной α.

В технических чертежах часто приводят три проекции детали на взаимно ортогональные плоскости Ozy, Оух, Oxz (рис. 3): вид спереди (анфас), вид сверху (план) и вид сбоку (профиль). Но для большей наглядности рядом помещают еще аксонометрическое изображение детали-ее параллельную проекцию на некоторую «наклонную» плоскость вместе с проекциями на эту плоскость трех осей Ох, Оу, Oz. Конечно, одна аксонометрическая проекция еще не задает формы тела и его расположения по отношению к осям координат, поэтому часто вместе с ней чертят также вторичную проекцию: аксонометрическое изображение одной из проекций тела и основных проецирующих лучей (на рис. 4 показана аксонометрия тела и его проекция на плоскость Оху).

При параллельной проекции, (разумеется, как и при ортогональной) искажаются углы между прямыми, но выполняются такие условия: (1) параллельные прямые переходят в параллельные прямые; (2) сохраняются отношения длин параллельных отрезков (и отрезков одной прямой); (3) площади фигур, расположенных в одной плоскости, уменьшаются в одном и том же отношении. Пользуясь свойствами (1), (2) и зная проекции четырех точек А, В, С, О в пространстве, не лежащих в одной плоскости (или, что то же самое, зная проекции трех непараллельных одной плоскости векторов OA, OB, ОС), можно построить проекцию любой другой точки. При этом проекции А', В', С', О' могут занимать произвольные положения: для любого тетраэдра и любых четырех точек плоскости А', В', С', О' можно расположить в пространстве тетраэдр АВСО, подобный данному, вершины которого проецируются как раз в точки А', В', С', О'. Этот факт называется теоремой Польке -Шварца, по именам немецких математиков К. Польке и Г. Шварца, доказавших ее в середине XIX в.

Параллельная проекция плоскости на другую плоскость определяется образами О', А', В' трёх точек О, А, В (двух векторов OA и OB); точка М, для которой ОМ = хОА + + уОВ, переходит в точку М', для которой О'М' = хO'А' + уО'В'. Свойства (1), (2), (3) показывают, что такая проекция - аффинное отображение одной плоскости на другую (и любое аффинное преобразование можно получить как композицию параллельных проекций (см. Геометрические преобразования).

Но свойства (1)-(3) уже не будут выполняться для центральной проекции. Центральной проекцией точки М с центром S на плоскость р называется точка М' пересечения прямой MS с плоскостью р. С этим видом проекции мы также сталкиваемся на каждом шагу. Тень от лампы, которую отбрасывает предмет на стену (рис. 5),- пример, когда фигура расположена между центром S и плоскостью проекции. Изображение в фотоаппарате (с некоторым приближением)-центральная проекция, центр которой расположен между предметом и плоскостью проекций р (изображение здесь получается перевернутым, рис. 6). Центральная проекция (ее также называют «линейная перспектива») играет большую роль и в изобразительном искусстве: скажем, рисуя на картине тень человека, отбрасываемую на асфальт от уличного фонаря, мы имеем дело с композицией двух центральных проекций: одна - проекция человека с центром в лампочке фонаря на плоскость тротуара, вторая-проекция тени с центром в глазу художника на плоскость холста. Тут может спасти от ошибки лишь одно главное свойство центральной проекции: любую прямую она переводит в прямую. Изображением окружности при центральной проекции может быть не только эллипс (как при ортогональной или параллельной проекции), но также парабола или гипербола (рис. 7). Свойства фигур, сохраняющиеся при центральном проектировании,- предмет изучения проективной геометрии.