ПАРАБОЛА

Парабола - одно из конических сечений. Эту кривую можно определить как фигуру, состоящую из всех тех точек М плоскости, расстояние каждой из которых до заданной точки F, называемой фокусом параболы, равно ее расстоянию до заданной прямой l, называемой директрисой параболы (рис. 1). Ближайшая к директрисе точка параболы называется вершиной параболы; прямая, проходящая через фокус перпендикулярно директрисе,- это ось симметрии параболы. Ее называют просто осью параболы.

Определение параболы наводит на идею конструкции чертежного прибора, способного вычерчивать параболу. На листе бумаги (рис. 2) нужно закрепить линейку (ее край будет директрисой будущей параболы), в точке F, которая станет фокусом параболы, булавкой прикрепить конец нити, другой конец которой закрепить в вершине острого угла чертежного треугольника, притом так, чтобы длина нити равнялась катету этого треугольника. Перемещая второй катет вдоль линейки и прижимая нить острием карандаша к первому катету треугольника, мы получим кривую, точки которой находятся на одинаковых расстояниях от края линейки и от точки F, т.е. параболу.

В геометрии принято записывать уравнение параболы в системе координат, осью абсцисс которой является ось параболы, а осью ординат-перпендикулярная ей прямая, проходящая через вершину параболы. Такое уравнение имеет вид

у² = 2рх.

Число р в записи уравнения параболы называется параметром параболы; фокус параболы находится в точке (р/2, 0), число р - длина отрезка FK (рис. 1).

В математическом анализе принята другая запись уравнения параболы:

у = ах²,

т.е. ось параболы выбрана за ось ординат. Параболой же будет и график любого квадратного трехчлена.

Хорошо известно, что траектория камня, брошенного под углом к горизонту, летящего футбольного мяча или артиллерийского снаряда будет параболой (при отсутствии сопротивления воздуха). Однако мало кто знает, что зона достижимости для пущенных нами камней вновь будет параболой. В данном случае мы говорим об огибающей кривой траекторий камней, выпущенных из данной точки (рис. 3) под разными углами, но с одной и той же начальной скоростью. Если рассматривать такую огибающую в пространстве, то возникнет поверхность, образованная вращением этой параболы вокруг ее оси. Такая поверхность носит название параболоида вращения.

Как и другие конические сечения, парабола обладает оптическим свойством: все лучи, исходящие из источника света, находящегося в фокусе параболы, после отражения оказываются направленными параллельно ее оси. Это свойство параболы используется при изготовлении прожекторов, автомобильных фар, карманных фонариков, зеркала которых имеют вид параболоидов вращения (рис. 4). Очевидно, что пучок параллельных лучей, двигающийся вдоль оси параболы, отражаясь, собирается в ее фокусе. На этом основана идея телескопов-рефлекторов, зеркала которых выполнены в виде параболоидов вращения. Любопытно, что параболоид вращения образует поверхность жидкости в цилиндрическом сосуде, если его вращать относительно своей оси.

Если параболоид вращения равномерно сжать к одной из плоскостей, проходящих через его ось, то получается поверхность, которая называется эллиптическим параболоидом. Это название объясняется тем, что любое плоское сечение этой поверхности-либо эллипс, либо парабола (рис. 5). Уравнение эллиптического параболоида имеет вид

z = x²/a² + y²/b².

Если а = b, то такой эллиптический параболоид будет параболоидом вращения.

Существует еще один тип параболоидов - гиперболический. Это седлообразная поверхность, интересная особенность которой-наличие прямых, целиком принадлежащих этой поверхности, как и у однополостного гиперболоида (рис. 6). Ее плоскими сечениями будут параболы и гиперболы. Если секущая плоскость касается поверхности, то гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых. Уравнение гиперболического параболоида имеет вид

z = x²/a² - y²/b².

Слово «парабола» применяют часто ко всем кривым, уравнение которых является степенной функцией. Так, график функции у = х³ называется кубической параболой, график функции у = х⁴ - параболой четвертой степени, а график функции у = х^3/2 - полукубической параболой.

Знание свойств параболы помогает и при изучении корней квадратного уравнения, поскольку они являются точками пересечения параболы - графика квадратного трехчлена с осью абсцисс.