НЬЮТОНА БИНОМ

Материал из Юнциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Бином Ньютона - название формулы, выражающей степень двучлена в виде суммы одночленов.

Формулу для квадрата двучлена (а + b)2 = а2 + 2ab + b2 знали, по-видимому, еще математики Древнего Вавилона, а древнегреческие математики знали ее геометрическое истолкование (см. Алгебра). Если умножить обе части этой формулы на а + b и раскрыть скобки, то получим:

(а + b)3 = (а2 + 2ab + b2)(а + b) = а3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + ab2 + b3, т. е.

(а + b)2 = а3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

Еще один такой шаг приводит к формуле

(а + b)4 = а4 + 4а3b + 6а2b2 + 4ab3 + b4.

Легко заметить закон образования коэффициентов: коэффициент 4 при а3b есть сумма коэффициентов 3 и 1 при а2b и а3. Аналогично, коэффициент 6 при а2b2 является суммой 3 + 3 коэффициентов при ab2 и а2b. По тому же закону получаем и коэффициент 4 при ab3.

Таким образом, коэффициент Сnk при an-kbk в разложении (а + b)n равен сумме коэффициентов Сn-1k-1 и Сn-1k при an-1bk-1 и при an-k-1bk в разложении (а + b)n-1, а коэффициенты при аn и при bn равны единице.

Отсюда следует, что коэффициенты Сnk в равенстве

(а + b)n = аn + Сn1an-1b + ... + Сnkan-1bk + ... + bn (1)

являются членами (n + 1)-й строки треугольника Паскаля (см. Паскаля треугольник). Это утверждение было известно задолго до Паскаля - его знал живший в XI-XII вв. среднеазиатский математик и поэт Омар Хайям (к сожалению, его сочинение об этом до нас не дошло). Первое дошедшее до нас описание формулы бинома Ньютона содержится в появившейся в 1265 г. книге среднеазиатского математика ат-Туси, где дана таблица чисел Сnk (биномиальных коэффициентов) до n = 12 включительно.

Европейские ученые познакомились с формулой бинома Ньютона, по-видимому, через восточных математиков. Детальное изучение свойств биномиальных коэффициентов провел французский математик и философ Б. Паскаль в 1654 г. Еще до этого было известно, что числа

Cnk = (n(n - 1) ... (n - k + 1))/(1•2•...•k)

являются в то же время числами «сочетаний без повторений» из n элементов по k (см. Комбинаторика).

В 1664-1665 гг. И. Ньютон установил, что формула (1) обобщается на случай произвольных (дробных и отрицательных) показателей, но при этом получается сумма из бесконечного множества слагаемых. Именно он показал, что при |х| < 1

(1 + х)n = 1 + nx + n(n - 1)x2/(1•2) + ... + (n(n - 1) ... (n - k + 1))xk/(1•2•...•k) + ... (2)

При n = -1 формула (2) превращается в известную формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии:

1/(1 + x) = 1 - х + х2 - х3 + ... + (-1)n-1хn + ...