НЕИЗВЕСТНЫХ ИСКЛЮЧЕНИЕ

Материал из Юнциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Исключением неизвестного называют переход от системы алгебраических уравнений к системе (уравнению, совокупности уравнений), которая не содержит этого неизвестного и является следствием исходной системы. Для того чтобы иметь возможность вычислить исключенное неизвестное, к полученной системе добавляют одно или несколько уравнений из исходной системы (см. Линейное уравнение).

Для решения линейных систем широко применяют метод Гаусса - метод последовательного исключения неизвестных. Суть его состоит в следующем. Можно считать, что в первом уравнении системы коэффициент при неизвестном x1 отличен от нуля - в противном случае можно просто перенумеровать неизвестные. Разделим каждый член первого уравнения на этот коэффициент, а затем из каждого из остальных уравнений системы вычтем почленно полученное уравнение, умноженное на коэффициент при x1 в уравнении, из которого вычитается первое уравнение. Тогда во всех уравнениях получившейся системы, кроме первого, коэффициент при x1 будет равен 0. Другими словами, мы исключили из этих уравнений неизвестное x1. Теперь если во втором уравнении нет ненулевого коэффициента при неизвестных, то возможны два случая: 1) уравнение имеет вид 0•x1 + 0•x2 + ... + 0•xn = 0 (где n-число неизвестных), так как этому уравнению удовлетворяет любой набор чисел, то его можно просто вычеркнуть из системы; 2) если это уравнение имеет вид 0•x1 + 0•x2 + ... + 0•xn = b, где b ≠ 0, то рассматриваемая система, а следовательно, и исходная система несовместны. Если же во втором уравнении есть неизвестное, при котором коэффициент не равен 0, то его можно принять за x2 и исключить x2 из всех уравнений, кроме второго и первого. Продолжая этот процесс, мы либо когда-нибудь встретим уравнение вида 0 = b, где b ≠ 0, и тем самым узнаем, что исходная система не имеет решений; либо (так как число уравнений, из которых исключаются неизвестные, каждый раз уменьшается) придем к системе m уравнений с n переменными (равносильной исходной) вида

x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1

x2 + a23x3 + a13x3 + ... + a2nxn = b2

xm + ... + annxn = bn (1)

где m ≤ n. Если m = n, то систему такого вида называют треугольной; при этом из последнего уравнения можно найти xn(xn = bn), затем из предпоследнего уравнения найти xn-1 = bn-1 - an-1, xn-2 и т.д. Таким образом, однозначно находятся все неизвестные и система имеет в точности одно решение. Если же m < n, то систему (1) называют трапециедальной; при этом переменным xm+1, xm+2, ..., xn можно придать любые значения, а затем, как и в предыдущем случае (однозначно), выразить через них остальные неизвестные, следовательно, в этом случае система имеет бесконечно много решений.

Метод последовательного исключения неизвестных для решения систем был в древности известен в Китае: ряд задач, решаемых аналогичным методом, помещен в трактате «Арифметика в девяти главах» (около II в. до н. э.). Естественно, что в этом трактате в основном рассматривались системы с целыми коэффициентами. Для исключения неизвестных все уравнения (кроме выбранного) предварительно умножались на коэффициент при исключаемом неизвестном в выбранном уравнении. Это делалось для того, чтобы после исключения неизвестного снова получалась система с целыми коэффициентами. Так обычно поступают и в наши дни при решении систем с целыми коэффициентами.