МНОГОЧЛЕН

Материал из Юнциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Многочленом Р(х) от одной переменной х называют выражение вида

Р(х) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn, an ≠ 0. (1)

Число n называют степенью многочлена, an - старшим коэффициентом, a0 - свободным членом.

Для многочленов определены операции сложения и умножения по правилам:

(a0 + a1x + anxn + ...) + (b0 + b1x + bnxn + ...) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + ...; (2)

(a0 + a1x + anxn + ...)(b0 + b1x + bnxn + ...) = a0b0 + (a0b1 + a1b0)x + (a0b2 + a1b1 + a2b0)x2 + ... (3)

Нетрудно проверить, что свойства операций над многочленами аналогичны свойствам арифметических операций над действительными числами:

P(x) + Q(x) = Q(x) + P(x);

P(x)Q(x) = Q(x)P(x);

(Р(х) + Q(х)) + R(х) = Р(х) + Q(х) + R (х));

(Р(х) Q(х))R(х) = Р(х)(Q(х)R(х));

Р(х)(Q(х) + R(х)) = P(x)Q(х) + Р(х)R(х).

Уравнение вида Р(х) = 0, где Р(х) - многочлен n-й степени от х, называют алгебраическим уравнением n-й степени. Число х0, такое, что Р(х0) = 0, называют корнем многочлена. В 1799 г. немецкий математик К.Ф. Гаусс доказал теорему, которая носит название «основная теорема алгебры многочленов»: любой многочлен ненулевой степени с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень.

В конце XVIII в. французский математик Э. Безу сформулировал и доказал следующую теорему: остаток от деления многочлена Р(х) (с действительными коэффициентами) на двучлен х — а равен Р(а). Отсюда, в частности, получается, что если а-корень многочлена Р, то Р(х) делится без остатка на х — а. Наибольшая степень k такая, что многочлен Р(х) делится на (х — а)k, называется кратностью корня а. Так как при делении многочлена степени n на двучлен х — а получается многочлен степени n — 1, то с учетом основной теоремы алгебры приходим к выводу: многочлен степени n (с комплексными коэффициентами) имеет в точности n корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность. Кроме того, этот многочлен можно разложить на линейные множители:

a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn = an(x - a1)k1(x - a2)k2 ... (x - as)ks

где а1, а2, ..., as - корни многочлена, k1 + k2 + ... + ks = n, ki - кратность корня ai. Можно доказать, что если а + bi - корень многочлена с действительными коэффициентами, то и a - bi - также его корень. Перемножая в разложении (4) множители (х — a — bi) и (х — а 4 bi), получим многочлен второй степени с действительными коэффициентами: (х - а - bi) (х - а + bi) = (х - а)2 + b2. Отсюда следует, что многочлен с действительными коэффициентами можно разложить на множители первой и второй степени с действительными коэффициентами.

Французский математик Ф. Виет (1540-1603) установил следующие соотношения между корнями х1, х2, ..., хn уравнения

xn + a1хn-1 + a2хn-2 + ... + an-1х + an = 0

и его коэффициентами:

x1 + х2 + ... + хn = -а1,

x1x2 + x1x<sub2</sub> + ... + xn-1xn = а2,

x1x2x3 ... xn = (-1)n.

Это утверждение называется теоремой Виета. Для квадратного трехчлена х2 + рх + q соотношения имеют вид

x1 + х2 = -р,

x2x2 = q,

где x1 и х2 - корни трехчлена.

Велика роль многочленов в математике. Многочлены являются довольно простыми функциями. Их легко дифференцировать и интегрировать. Оказывается, любую непрерывную функцию на заданном отрезке можно сколь угодно хорошо приблизить многочленом, например так, чтобы их значения отличались меньше чем на 0,001. Приближение функции многочленом в небольшой окрестности некоторой точки определения функции позволяет выяснить характер поведения функции вблизи этой точки: возрастает или убывает функция, или в этой точке она имеет экстремум (см. Экстремум функции).

Большой вклад в теорию приближения функций многочленами внес П. Л. Чебышев.