ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

Логарифмическая функция по основанию a(а > О, а ≠ 1) обозначается у = log_ax и определяется как функция, обратная показательной функции у = а^x с тем же самым основанием. Так как логарифмическая и показательная функции взаимно-обратны, то график логарифмической функции (он иногда называется «логарифмикой») получается из графика показательной функции симметрией относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов (рис. 1). Логарифмическая функция определена для положительных х и при основании а, большем единицы, является монотонно возрастающей функцией. Из свойств логарифмов (1) и (2) (см. Логарифм) легко устанавливается, что

log_1/ax = -log_ax,

откуда следует, что графики функций у = log_1/ax и у = log_ax симметричны друг другу относительно оси Ох. Свойства логарифмической функции хорошо иллюстрирует рис. 2. Заметим, что ординаты любых двух кривых на рис. 2 пропорциональны, это непосредственно следует из формулы

log_ax = log_bx/log_ba

В математическом анализе особое значение имеет логарифмическая функция по основанию е, она называется натуральным логарифмом и обозначается у = ln x. Производная от этой функции имеет весьма простой вид, а именно (ln x)'= 1/х. На рис. 3 сопоставлены графики у = lg x и у = ln х.