ЛИНИЯ

Первые линии, с которыми мы знакомимся, изучая математику, - это прямая и окружность. Затем изучаем гиперболу, параболу, различные спирали и другие кривые. У каждой из них есть какие-то интересные математические свойства.

Что же такое линия? Оказывается, дать строгое определение этого понятия совсем не просто. В «Началах» Евклида линия определялась как «длина без толщины». Однако такое определение не могло устроить математиков более позднего времени. После введения Р. Декартом системы координат появилась возможность дать представление о линии как о траектории движущейся точки. Приведем это определение. Пусть на отрезке [а, b] заданы две непрерывные функции х = f(t) и у = g(t). Сопоставим каждому значению t из отрезка [а, b] точку на координатной плоскости с координатами [f(t), g(t)]. Совокупность всех таких точек и будем называть линией. Такой способ задания кривой называется параметрическим. Легко заметить связь параметрического задания линии с представлением о линии как о траектории движущейся точки; если считать параметр t временем, то f(t) и g(t) будут координатами движущейся точки в момент времени t.

Параметрическое уравнение прямой имеет вид

{ х = а + αt, у = b + βt,

а параметрическое уравнение окружности с центром в точке O с координатами (а, b) и радиусом R запишется в виде

{ х = а + R cos t, у = b + R sin t.

Но прямую на плоскости можно описать и одним уравнением:

Ах + By + С = 0,

как и окружность, уравнение которой имеет вид

(х - а)² + (у - b)² - R² = 0.

Может быть, можно считать линией совокупность всех точек плоскости, удовлетворяющих некоторому уравнению F(x, у) = 0?

Да, можно, но с осторожностью. Не всякое уравнение такого вида определяет линию. Скажем, уравнению х² + у² + 25 = 0 не удовлетворяет ни одна точка плоскости, а уравнению х + у - |х + у| = 0 удовлетворяют все точки полуплоскости х + у ≥ 0 (рис. 1).

Подобные казусы бывают и при параметрическом задании линии. Хотя для каждого значения t из отрезка [a, b] определена точка на плоскости, но совокупность этих точек может совершенно не соответствовать нашим интуитивным представлениям о линии, скажем, совпадать со множеством точек некоторого квадрата. Впервые такие линии обнаружил итальянский математик Д. Пеано (1858-1932), в честь которого их стали называть кривыми Пеано.

Способ построения одной из таких кривых изображен на рис. 2. Сначала берем простую крестообразную замкнутую ломаную, затем из четырех таких ломаных, соответственно уменьшенных, строим более сложную кривую, из четырех новых ломаных строим еще одну и т.д. Кривая, .которая получится в пределе, и будет кривой Пеано. Для каждой ее точки можно указать значение t на отрезке [0, 1], которому соответствует эта точка, причем близким точкам на отрезке [0, 1] соответствуют близкие точки на кривой.

Кривая, которая проходит через все точки квадрата, естественно, не соответствует нашим представлениям о линии. Поэтому при определении линии часто на функции f(t) и g(t) накладывают помимо непрерывности и другие ограничения, например существование производных. Начнем с длины ломаной. Так как ломаная-объединение нескольких отрезков (ее звеньев), то длину ломаной легко найти, вычислив сумму длин всех ее звеньев.

Задача 1. Выпуклый многоугольник F находится в многоугольнике G. Доказать, что периметр многоугольника F меньше периметра объемлющего многоугольника G.

Решение. Продолжим стороны выпуклого многоугольника F до пересечения с контуром объемлющего многоугольника G и сложим ряд неравенств (рис. 1):

|АМ| + |MN| + |NH| ≥ |АВ| + |ВН|,

|BH| + |HP| + |PQ| + |QK| ≥ |BC| + |CK|,

|CK| + |KR| + |RS| + |SL| ≥ |CD | + |DL|,

|DL| + |LT| + |TM| ≥ |DA| + |AM|.

Уничтожая в левой и правой частях одинаковые слагаемые, получаем требуемое неравенство: |NP| + |PQ| + |QR| + |RS| + |ST| + |TN| ≥ |AB| + |BC| + |CD| + |DE|.

Не обходится дело и без софизмов.

Задача 2. В равнобедренном прямоугольном треугольнике проведена пилообразная ломаная L_n, состоящая из n ступенек, примыкающих к гипотенузе (рис. 2). Ясно, что ее длина равна сумме длин катетов. В то же время при n → ∞ ломаная L_n все более приближается к гипотенузе и в пределе сливается с ней. Значит, длина гипотенузы равна сумме длин катетов. В чем здесь ошибка?

Решение. Из того, что предел ломаных lim_n→∞ L_n совпадает с гипотенузой АВ, делается неправильный вывод о том, что это же имеет место и для длин, т.е. lim_n→∞ l(L_n) = |АВ|, где через l(L_n) обозначается длина ломаной L_n. Рис. 3 показывает, что какова бы ни была ломаная L, можно в любой близости от нее изобразить другую ломаную L' (с теми же концами), имеющую какую угодно большую длину. Поэтому если последовательность ломаных {L_n} сходится к некоторой линии L и существует предел lim_n→∞ l(L_n), то можно утверждать, что lim_n→∞ l(L_n) ≥ l(L). Кратко это выражают словами: длина ломаной полунепрерывна снизу.

Сформулируем основные свойства длины ломаной:

1) длина любой ломаной неотрицательна;

2) равные ломаные имеют равные длины;

3) если ломаная L разбита некоторой точкой на две ломаные L₁б L₂, то l(L) = l(L₁) + l(L₂);

4) длина отрезка, принятая за единицу измерения длин, равна 1;

5) длина ломаной полунепрерывна снизу.

Оказывается, что с помощью этих свойств можно определить понятие длины и для кривых линий. Линию L, которая соединяет две точки А, В и не пересекает себя, называют простой дугой с концами А и В. Основной результат теории длины (теорема существования и единственности) утверждает, что на множестве всех простых дуг существует и притом только одна функция l(L), называемая длиной, которая обладает пятью сформулированными выше свойствами. Разница будет лишь в том, что для некоторых простых дуг длина оказывается бесконечной; такие простые дуги называют неспрямляемыми.

Для вычисления длины используют вписанные ломаные. Идя вдоль простой дуги L от одного конца А к другому концу В, мы можем последовательно отметить на L несколько точек A₁, A₂, ..., A_n и рассмотреть вписанную ломаную AA₁A₂...A_n. Если теперь {L_n} - такая последовательность вписанных в линию L ломаных, что наибольшее звено ломаной Ln стремится к нулю при n→∞, то эта последовательность сходится к L. Следовательно,

lim_n→∞ l(L_n) ≥ l(L). С другой стороны, длина каждого звена |A_iA_i + 1| вписанной ломаной не больше длины соответствующей дуги линии L, откуда следует, что l(L_n) ≤ l(L), и потому lim_n→∞ l(L_n) ≤ l(L). Таким образом, (L_n) ≤ l(L).

Линия L будет неспрямляемой, т.е. l(L) бесконечна, если существует вписанная ломаная какой угодно большой длины. Таков, например, график непрерывной функции

f(x) = х•sin (1/x) (0 ≤ х ≤ 1), дополненной соглашением f(0) = 0 (рис. 4).

Заметим, что если функция f(x), рассматриваемая на [a, b], имеет непрерывную производную, то график L этой функции является спрямляемой простой дугой, и ее длина равна

l(L) = ∫_a^b √(1 + (f'(x))²)dx.

Справедливость этого соотношения поясняется:

dy = f(x)dx, ds² = dx² + dy², ds = √(1 + (f'(x))²)dx,

где s — длина дуги кривой от точки А до М. С помощью этой теоремы можно вычислять длины различных кривых. Например, длина дуги параболы у = х² на отрезке [-а, а] равна

a√(1 + 4а²) + (1/2)ln(2а + √(4а² + 1) + 1).

Древние математики не владели понятиями математического анализа. Однако они умели вычислять длины окружности и некоторых спиралей.

Вычисляя периметры правильных вписанных 2ⁿ - угольников и описанных 2ⁿ - угольников, Архимед нашел, что число k, участвующее в формуле длины окружности: С = 2πr, заключено между 3 10/71 и 3 1/7, т.е. 3,1408 < π < 3,1429.