КООРДИНАТЫ

Более чем за 100 лет до н.э. греческий ученый Гиппарх предложил опоясать на карте земной шар параллелями и меридианами и ввести хорошо теперь известные географические координаты: широту и долготу-и обозначить их числами.

В XIV в. французский математик Н. Оресм ввел, по аналогии с географическими, координаты на плоскости. Он предложил покрыть плоскость прямоугольной сеткой и называть широтой и долготой то, что мы теперь называем абсциссой и ординатой.

Это нововведение оказалось чрезвычайно продуктивным. На его основе возник метод координат, связавший геометрию с алгеброй. Основная заслуга в создании метода координат принадлежит французскому математику Р. Декарту. Такую систему координат стали называть декартовой. Точку О пересечения прямых называют началом, а сами направленные прямые-осями координат, ось Ох - осью абсцисс, а ось Оу - осью ординат. Числа х, у называют декартовыми координатами точки (х; у). Точка плоскости - геометрический объект - заменяется парой чисел (х; у), т.е. алгебраическим объектом. Принадлежность точки заданной кривой теперь соответствует тому, что числа х и у удовлетворяют некоторому уравнению. Так, координаты точки окружности с центром в заданной точке (а; b) удовлетворяют уравнению (х - а)² + (у — b)² = R² (рис. 1).

Для определения положения точки в пространстве требуется введение третьей оси - оси аппликат (рис. 2). Таким образом, положение точки в пространстве будет уже задаваться тремя числами.

Особенно просто описываются в декартовых координатах прямые и плоскости. Так, уравнение любой прямой на плоскости в декартовой системе координат записывается в виде: Ах + By + С = 0, и наоборот, всякому такому уравнению, у которого числа А и В одновременно не являются нулями, удовлетворяют точки некоторой прямой.

Числа А и В имеют важный геометрический смысл: вектор с координатами {А, В} перпендикулярен соответствующей прямой (рис. 3). Следует, что если у двух прямых A₁x + В₁у + C₁ = 0 и А₂х + В₂у + С₂ = 0 коэффициенты при переменных пропорциональны:

A₁/A₂ = B₁/B₂,

то эти прямые параллельны, поскольку параллельны перпендикулярные им векторы {A₁,B₁} и {A₂,B₂}. А если эти прямые перпендикулярны, то соответствующие им векторы также будут перпендикулярны, а следовательно, их скалярное произведение будет равно нулю:

A₁A₂ + B₁B₂ = 0.

В пространстве уравнение Ах + By + Cz + D — 0 описывает плоскость, если не все коэффициенты А, В и С равны нулю. Аналогично вектор {А, В, С} перпендикулярен этой плоскости. Отсюда получаем условия параллельности двух плоскостей А₁х + В₁у + С₁z + D₁ = 0 и А₂х + В₂у + C₂z + D₂ = 0:

A₁A₂ = B₁B₂ = C₁C₂

и условие их перпендикулярности: A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0.

Прямая в пространстве может быть представлена как линия пересечения двух плоскостей и, следовательно, может описываться парой уравнений плоскостей, и, наоборот, точки, удовлетворяющие одновременно двум уравнениям:

{ A₁x + В₁у + C₁z + D₁ = 0, А₂х + В₂у + C₂z + D₂ = 0,

лежат на прямой, если коэффициенты при неизвестных не пропорциональны, т. е. эти плоскости не параллельны.

Существует и другой способ описания прямой в декартовых координатах. Для этого выбираются точка М₀(х₀, у₀, z₀), лежащая на этой прямой, и вектор ā = (α, β, γ), параллельный данной прямой (он называется направляющим вектором прямой). Тогда все точки этой прямой удовлетворяют соотношениям:

{ х = х₀ + αt, y = У₀ + βt, z = z₀ + γt,

Каждому значению числа t (оно называется параметром, а поэтому и запись называется параметрическим заданием прямой) соответствует некоторая точка этой прямой. Если вектор ā имеет единичную длину, то модуль числа t равняется расстоянию соответствующей точки до начальной точки М₀.

В соответствии с геометрическим смыслом чисел α, β и γ и здесь можно аналогично написать алгебраические условия перпендикулярности и условия параллельности прямых через координаты их направляющих векторов.

Трудно переоценить значение декартовой системы координат в развитии математики и ее приложений.

Кривые и поверхности, определяемые ранее геометрически, получили описание в виде формул. Более того, рассматривая различные уравнения и изображая соответствующие линии и поверхности, математики получили новые геометрические образы, оказавшиеся очень полезными в приложениях, например гиперболические функции.

Существуют на плоскости и другие системы координат, например полярная система координат. Чтобы ее ввести, выбирают начальную точку О, называемую полюсом, поэтому система и называется полярной. Из этой точки проводят луч, называющийся полярной осью. Чтобы определить координаты точки на плоскости, ее соединяют отрезком с полюсом и вычисляют длину этого отрезка и угол между ним и полярной осью (рис. 4).

Таким образом, каждой точке М плоскости сопоставляется пара чисел (ρ, φ). Но если в декартовой системе координат эта пара определялась однозначно, то в полярной системе число φ определено уже неоднозначно: парам чисел (ρ, φ+2nπ) соответствует одна и та же точка при любом целом числе n. Направление полярной оси можно выбирать произвольно. Так, географы предпочитают направление полярной оси на север и соответствующий полярный угол называют азимутом, а артиллеристы отсчитывают азимут от направления на юг.

Существуют также координаты, задаваемые одним числом. Это координаты на прямой. Достаточно задать одно число - расстояние от точки до начала отсчета, чтобы указать на прямой положение этой точки.

А сколько координат зададут положение точки в пространстве? Естественно, три. Эти три числа можно получить, например, так. Соединим мысленно лучом центр Земли и нашу точку и рассмотрим широту и долготу пересечения луча с поверхностью Земли и расстояние от точки до центра Земли. Такая система координат называется сферической. Можно поступить по-другому. Выберем некоторую плоскость и введем на ней полярную систему координат, а нашей точке сопоставим полярные координаты ее проекции на эту плоскость и расстояние от нее до плоскости, взятое со знаком «плюс» для одной половины пространства и со знаком «минус»-для другой; так мы получим цилиндрическую систему координат.

Сферической системой координат обычно пользуются на аэродромах. Рядом с аэродромом ставят радиолокатор. Этот прибор определяет расстояние до самолета, угол, под которым самолет виден над горизонтом, и угол между направлением на самолет и направлением на север, т. е. определяет его сферические координаты.