КОНУС

Материал из Юнциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Прямой круговой конус (от греческого слова konos - «сосновая шишка») - это фигура, получающаяся при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. На рис. 1 треугольник ABC вращается около катета АС; точка А называется вершиной конуса, прямая АС его осью, отрезок АС (и его длина) - высотой конуса. Конус ограничен боковой поверхностью, образующейся при вращении гипотенузы АВ, и основанием - кругом, получающимся при вращении второго катета ВС.

С глубокой древности рассматриваются также конические поверхности, составленные из всех прямых пространства, пересекающих данную прямую (ось) в одной точке (вершине), и образующие с осью данный, отличный от прямого, угол. Составляющие коническую поверхность прямые называются ее образующими - они получаются из одной образующей вращением около оси, и поэтому такую коническую поверхность часто называют конусом вращения (рис. 2). Вершина А разделяет конус вращения на две полости. Прямой круговой конус можно определить как часть пространства, ограниченную одной полостью конической поверхности и пересекающей эту полость плоскостью, перпендикулярной оси (рис. 2, вверху). Часть пространства, ограниченная полостью конуса и двумя такими плоскостями, называют усеченным (прямым круговым) конусом (рис. 2, внизу). В пересечении конической поверхности с плоскостью, кроме окружности, могут получиться эллипс, парабола, гипербола (см. Конические сечения). Плоскость, проходящая через вершину конуса А, в сечении может дать пару образующих или единственную образующую (в этом случае плоскость называется касательной к конусу), или же единственную точку А.

Обобщенный конус с основанием - произвольной плоской фигурой М - и вершиной - не лежащей в плоскости М точкой А - это фигура, которую заполняют отрезки АХ, соединяющие вершину со всеми точками X на основании М (рис. 3). Если М - круг, то получается круговой конус, а если к тому же вершина А проецируется в центр круга М, то мы приходим как раз к прямому круговому конусу. Другой частный случай обобщенного конуса-пирамида, получающаяся в том случае, если М-многоугольник. Сечение обобщенного конуса параллельной основанию М плоскостью-фигура М' - разбивает конус на меньший конус и обобщенный усеченный конус с основаниями M и М' (рис. 4). Объем любого конуса (в том числе прямого кругового и пирамиды) вычисляется по формуле:

V = (1/3)SH,

где S - площадь основания, а H - высота конуса, т.е. расстояние от вершины А до плоскости основания. Объем любого усеченного конуса равен

V = (1/3)H(S1 + S1 + √(S1S2)),

где S1 и S2 - площади оснований М и М', а высота Н определяется как расстояние между плоскостями оснований.

Площадь боковой поверхности прямого кругового конуса вычисляется по формуле Sб = πRl, где R - радиус основания, l - длина образующей конуса. Для усеченного (прямого кругового) конуса Sб = π(R + r)l, где R и r - радиусы оснований, l - длина его образующей.