КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Так называют числа вида а + bi, где а и b-действительные числа, а i-число особого рода, квадрат которого равен -1, т.е. i² = -1. Действия над комплексными числами выполняются по таким же правилам, что и над многочленами, при этом i² заменяют на -1. Например:

(2 + 3i) + (4 - 8i) = 6-5i; (2 + 3i)(4 - 8i) = 8 - 16i + 12i - 24i² = 32 - 4i;

(2 + 3i)/(4-8i) = (2 + 3i)(4 + 8i)/((4 - 8i)(4 + 8i)) = -1/5 + 7i/20;

i₃ = i₂•i = -i;

i₄ = i₂•i₂ = (-1)•(-1) = 1.

Равенство a + bi = с + di означает, что a = с и b = d.

Древнегреческие математики считали «настоящими» только натуральные числа, но в практических расчетах за два тысячелетия до н. э. в Древнем Египте и Древнем Вавилоне уже применялись дроби. Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных чисел-это было сделано китайскими математиками за два века до н.э. Отрицательные числа применял в III в. н. э. древнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действий над ними, а в VII в. н.э. эти числа подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменения величин. Уже в VIII в. н.э. было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения-положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратные корни извлечь нельзя: нет такого числа х, чтобы х² = -9.

В XVI в. в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения кубических уравнений (см. Алгебраическое уравнение) содержатся кубические и квадратные корни. Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный корень (например, для уравнения х³ + Зх — 4 = 0), а если оно имело три действительных корня (например, х³ — 7х + 6 = 0), то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим трем корням уравнения ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа.

Чтобы объяснить получившийся парадокс, итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений х + у = 10, ху = 40, не имеющая решений в множестве действительных чисел, имеет решения вида х = 5 ± √-15, y = 5 ∓ √-15 нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать, что √-a • √-a = -a. Кардано называл такие величины «чисто отрицательными» и даже «софистически отрицательными», считал их бесполезными и стремился не применять их. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение этой величины. Но уже в 1572 г. вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Название «мнимые числа» ввел в 1637 г. французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 г. один из крупнейших математиков XVIII в. - Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа √-1 («мнимой» единицы); этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу (1831).

В течение XVII в. продолжалось обсуждение арифметической природы мнимостей, возможности дать им геометрическое истолкование.

Постепенно развивалась техника операций над комплексными числами. На рубеже XVII и XVIII вв. была построена общая теория корней n-й степени сначала из отрицательных, а потом из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А. Муавра (1707):

(cos φ + i•sin φ)ⁿ = cos nφ + i•sin φ.

С помощью этой формулы можно также вывести равенства для косинусов и синусов кратных дуг. Л. Эйлер вывел в 1748 г. замечательную формулу

e^ix = cos х + i•sin x,

которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрическими. С помощью формулы Эйлера можно возводить число е в любую комплексную степень. Любопытно, например, что e^iπ = —1. Можно находить синусы и косинусы от комплексных чисел, вычислять логарифмы таких чисел, т. е. строить теорию функций комплексного переменного.

В конце XVIII в. французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью комплексных чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде. Еще ранее швейцарский математик Я. Бернулли применил комплексные числа для вычисления интегралов.

Хотя в течение XVIII в. с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т.д., однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел. Поэтому французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, получаемые с помощью мнимых чисел,-только наведения, приобретающие характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами.

В конце XVIII-начале XIX в. было получено геометрическое истолкование комплексных чисел. Датчанин Г. Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изображать комплексное число z = а + bi точкой М(а,b) на координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не самой точкой М, а вектором ОМ_→, идущим в эту точку из начала координат. При таком истолковании сложению и вычитанию комплексных чисел соответствуют эти же операции над векторами. Вектор ОМ_→ можно задавать не только его координатами а и b, но также длиной r и углом φ, который он образует с положительным направлением оси абсцисс. При этом а = r•cos φ, b = r•sin φ и число z принимает вид z = r•(cos φ + i•sin φ), который называется тригонометрической формой комплексного числа. Число r называют модулем комплексного числа z и обозначают |z|. Число φ называют аргументом z и обозначают Arg z. Заметим, что если z = 0, значение Arg z не определено, а при z ≠ 0 оно определено с точностью до кратного 2π. Упомянутая ранее формула Эйлера позволяет записать число z в виде z = re^iφ (показательная форма комплексного числа).

Очень удобно выполнять умножение комплексных чисел в показательной форме. Оно производится по формуле r₁e^iφ₁ • r₂e^iφ₂ = r₁r₂e^{i(φ₁+φ₂)}, т.е. при умножении модули перемножаются, а аргументы складываются.

Геометрическое истолкование комплексных чисел позволило определить многие понятия, связанные с функциями комплексного переменного, расширило область их применения. Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами на плоскости: при изучении течения жидкости, задач теории упругости.

Большой вклад в развитие теории функций комплексного переменного внесли русские и советские ученые. Н.И. Мусхелишвили занимался ее приложениями к теории упругости, М. В. Келдыш и М.А. Лаврентьев - к аэро- и гидродинамике, Н.Н. Боголюбов и B.C. Владимиров-к проблемам квантовой теории поля.