КАЛЕНДАРЬ, раздел «Математик»

Материал из Юнциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Исчисление времени, казалось бы, не таит в себе никаких проблем. Сутки следуют за сутками, год за годом. Но что такое год? Это время, за которое Земля совершает по своей орбите полный оборот вокруг Солнца. Астрономы подсчитали, что год составляет 365 сут 5 ч 48 мин 46 с или 365,242199 сут. Но пользоваться таким сложным числом очень неудобно. Хотелось бы, чтобы в году было целое число суток. Предположим, что продолжительность года равна 365 дням. Но тогда окончание каждого года приходилось бы всякий раз на новую точку на орбите, отстоящую от предыдущей на величину, которую Земля проходит примерно за 6 ч. Какой же из этого выход? Древнеримские жрецы, ведавшие исчислением времени, произвольно удлиняли некоторые года, чтобы согласовать календарные даты с сезонными явлениями природы. Впервые порядок в счете времени навел в I в. до н.э. римский император Юлий Цезарь. Он постановил считать одни годы по 365 суток, а другие по 366, чередуя их по правилу: три года подряд коротких, четвертый-длинный. Такую систему предложил ему александрийский астроном Созиген, которого Юлий Цезарь пригласил в Рим специально для создания календаря. Гораздо позже, с введением христианского летосчисления, високосным стали считать каждый год, порядковый номер которого делится на 4.

Этот календарь в честь Юлия Цезаря называется юлианским. По нему средняя продолжительность года составляет 365 сут 6 ч, что больше истинной лишь на 11 мин 14 с. Однако и это решение оказалось неудовлетворительным. К XVI в. ошибка, накапливаясь, составила уже около 10 сут.

Следующую реформу календаря провел Григорий XIII-папа римский. Он создал специальную комиссию для разработки системы, по которой весеннее равноденствие выпадало бы на 21 марта и впредь больше не отставало от этой даты. Решение папы Григория XIII было вызвано трудностями использования юлианского календаря при расчетах дат церковных праздников. Решение комиссии, утвержденное Григорием XIII в 1582 г., было достаточно простым: сдвинуть числа на 10 дней, оставить чередование простых и високосных лет, при этом решили, что если порядковый номер года оканчивается двумя нулями, но число сотен не делится на 4, то этот год простой. Например, по этому правилу 1900 год— простой, а 2000 - високосный. В настоящее время расхождение между юлианским и новым, григорианским календарями составляет 13 дней, поскольку с тех пор накопилось еще три дня (в 1700, 1800 и 1900 гг.). Григорианский календарь был введен в Европе в XVI-XVII вв., в России же до Великой Октябрьской революции продолжали пользоваться юлианским календарем, или как сейчас говорят, исчислением «по старому стилю». Григорианский календарь был введен в 1918 г. декретом Советского правительства, причем 1 февраля стали считать 14 февраля. Из 400 лет по юлианскому календарю 100 високосных, а по григорианскому-97, поэтому продолжительность григорианского года составляет

365 97/400, или 365,2425 сут, 400,

т.е. 365 сут 5 ч 49 мин 12 с, т.е. она больше истинной лишь на 26 с. Полученная точность очень велика и вполне достаточна для практических нужд.

Интересная система календаря была предложена среднеазиатским математиком и поэтом Омаром Хайямом (ок. 1048- 1122), по ней високосными годами должны были считаться 8 лет из каждых 33. Продолжительность года

по О. Хайяму составляет

365 8/33 сут,

его погрешность всего 19 с в год. В 1864 г. русский астроном И. Медлер предложил с XX столетия ввести в России следующую поправку к юлианскому календарю: через каждые 128 лет пропускать один високосный год из 32, которые выпадают на этот период. Этот календарь самый точный из всех перечисленных.

Средняя продолжительность года по этому календарю составляет 365 31/128 сут, или 365 сут 5 ч 48 мин 45 с. Здесь погрешность сокращается всего до 1 с. Однако календарь И. Медлера не был принят, видимо, из-за того, что период в 128 лет не является «круглым» числом.

Рассмотренные выше системы календаря оказываются связанными с записью продолжительности астрономического года в виде цепной дроби:

365,242199*365 = 365 + 1/(4+1/(7+1/(1+1/(3+1/(5+1/(20+1/(6+1/12)))))))

Год продолжительностью 365 сут - это нулевая подходящая дробь этой цепной дроби, 365 1/4 - юлианский год - первая подходящая дробь, 365 7/29, 365 8/33 и 365 31/128 вторая, третья и четвертая подходящие дроби, а именно:

365 7/29 = 365 + 1/(4+1/7)

365 8/33 = 365 + 1/(4+1/(7+1))

365 31/128 365 + 1/(4+1/(7+1/(1+1/3)))

Системой, соответствующей второй подходящей дроби: семь високосных лет из 29, никто не предложил воспользоваться, видимо, потому, что третья подходящая дробь не намного сложнее, а точность ее гораздо больше (вспомним, что это система О. Хайяма), а четвертой подходящей дроби соответствует система И. Медлера.

Кроме смены времен года и времени суток на Земле есть еще один постоянный периодический процесс-смена фаз Луны, который породил разбиение года на 12 месяцев. Мусульманский лунный календарь, действующий до настоящего времени во многих арабских странах, основан на этом явлении. Количество дней в месяце выбирается так, чтобы первое число месяца совпадало с новолунием, поэтому в лунном календаре год состоит из 12 лунных месяцев по 29 или 30 дней, а продолжительность года составляет 354 или 355 сут, что на 10 сут короче астрономического года. Заметим, что смена фаз Луны происходит через 29,5306 сут, что плохо связывается не только с продолжительностью года, но и продолжительностью суток.

Еще одна единица времени - неделя (в ней, по определению, 7 сут). Приведем формулу, позволяющую вычислить день недели для произвольной даты: (d + [(13m-1)/5] + Y + [Y/4] + [c/4] - 2с)mod7. Здесь d - число месяца, m - номер месяца, если начинать счет с марта, как это делали в Древнем Риме (март-1, апрель-2, ..., январь-11, февраль-12), Y - номер года в столетии, с-количество столетий.

Число, заключенное в квадратные скобки [х], читается «целая часть от х» и означает наибольшее целое число, не превосходящее числа х. Так, [2,57] = 2, [3] = 3. Значок mod7 означает, что от числа, стоящего перед ним, нужно взять его остаток от деления на 7 (см. Сравнения). Если в результате получилось число 1, то соответствующий день - понедельник, 2-вторник, 3-среда, 4-четверг, 5-пятница, 6-суббота и 0-воскресенье.

В последнее время было много различных предложений по реформе календаря с изменением длительности недель и месяцев, при которых в каждом месяце было бы одинаковое количество недель, но по разным причинам они не были приняты.