ЗАДАЧА НАПОЛЕОНА

Материал из Юнциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Французский император Наполеон Бонапарт был любителем математики. Он находил время заниматься ею для собственного удовольствия, чувствовал в ней красоту и объект, достойный приложения остроумия и изобретательности. Одно из свидетельств тому - несколько составленных им геометрических задач.

Вот как можно сформулировать одну из них: На сторонах произвольного треугольника AВС внешним образом построены как на основаниях равносторонние треугольники (рис. 1). Доказать, что центры этих треугольников также являются вершинами равностороннего треугольника.

Задача имеет довольно изящное решение. Пусть O1, O2 и O3 - центры равносторонних треугольников. Выполним дополнительное построение: соединим отрезками прямых точки O1, O2 и O3 с ближайшими (к каждой из них) двумя вершинами треугольника AВС и между собой.

По свойствам равностороннего (правильного) треугольника AO1 = O1B, ВO2 = O2C, СО3 = O3А ; ∠AO1B = ∠BO2C = ∠СО3А = 120° и ∠O1AO3 + ∠01BO2 + ∠O2CO3 = 360°. Выделим шестиугольник АO1ВO2СO3, а внешние к нему невыпуклые четырехугольники отбросим. Получим фигуру, изображенную на рис. 2.

Отрезая теперь от упомянутого шестиугольника треугольники О1АО3 и O2СO3, перемещая их в плоскости в положение, которое указано на рис. 3, получаем четырехугольник O1DO2O3. Отрезок O1O2 делит его на два равных (по трем сторонам) треугольника. Углы DO2O3 и DO1O3 равны 120° каждый. Поэтому углы O2O1O3 и O1O2O3 равны 60° каждый. Следовательно, треугольник O1O2O3 равносторонний, что и требовалось доказать.

Задача эта может послужить отправным пунктом для небольшого геометрического исследования. Проверьте, будут ли центры равносторонних треугольников, построенных внутренним образом на сторонах произвольного треугольника как на основаниях, являться вершинами равностороннего треугольника.