ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ

Диофантовыми уравнениями называют алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, для которых надо найти целые или рациональные решения. При этом число неизвестных в уравнениях должно быть не менее двух (если не ограничиваться только целыми числами). Диофантовы уравнения имеют, как правило, много решений, поэтому их называют неопределенными уравнениями. Это, например, уравнения: 3x + 5y = 7; x² + y² = z²; 3x³ + 4y³ = 5z³.

Названы они по имени греческого математика Диофанта, жившего в III в. Его книга «Арифметика» содержала большое количество интересных задач, ее изучали математики всех поколений. Книга сохранилась до наших дней, ее можно найти в русском переводе в библиотеке.

Задачи поиска целочисленных и рациональных решений обычно тесно связаны между собой. Легко сообразить, какая связь есть между целочисленными решениями уравнения 3x³ + 4y³ = 5z³ и рациональными решениями уравнения

(3/5)u³ + (4/5)v³ 1 (u = x/z, v =y/z).

К диофантовым уравнениям приводят задачи, по смыслу которых неизвестные значения величин могут быть только целыми числами.

Решение уравнений в целых числах — очень увлекательная задача. С древнейших времен накопилось много способов решения конкретных диофантовых уравнений, однако только в нашем веке появились общие приемы их исследования. Правда, линейные диофантовы уравнения и диофантовы уравнения 2-й степени научились решать давно.

Так, легко доказать, что по формулам x = 4 + 5t, y = -1 - 3t (t — любое целое число) находятся все целочисленные решения уравнения 3x + 5y - 7. Формулы для нахождения целочисленных сторон прямоугольного треугольника (т. е. для решения уравнения x² + y² = z²) были известны еще древним индийцам : x = 2uv, y = u² - v², z = u² + v² (u и v- целые числа, u > v).

Решения диофантовых уравнений более высоких степеней, а также систем уравнений давались с большим трудом. Знаменитое уравнение П. Ферма, которое более трехсот лет назад он написал на полях «Арифметики» Диофанта, xⁿ + yⁿ = zⁿ (n > 2) не решено до сих пор (см. Ферма великая теорема).

Даже при n = 3 диофантовы уравнения поддаются решению с большим трудом, причем ответы могут быть совершенно разными. Так, уравнение 3x³ + 4y³ = 5z³ совсем не имеет решений в целых числах, кроме нулевого. Уравнение x³ + y³ = 2z³ имеет конечное число решений в целых числах, которые легко найти. Уравнение x³ + y³ = 9z³ имеет бесконечно много целочисленных решений, однако написать для них формулы далеко не просто.

Правда, оказалось, что кубические уравнения стоят в некотором смысле особняком. В 20-е гг. нашего века английский математик Е. И. Морделл высказал гипотезу, что уравнение более высокой степени, чем 3, должно иметь, как правило, конечное число целочисленных решений. Эта гипотеза была в 1983 г. доказана голландским математиком Г. Фалтингсом. Тем самым подтвердилось, что уравнение Ферма xⁿ + yⁿ = zⁿ при всяком n > 2 имеет лишь конечное число решений в целых числах (без общих множителей). Однако пока нет способа найти эти решения.

Долгое время надеялись отыскать общий способ решения любого диофантова уравнения. Однако в 1970 г. ленинградский математик Ю. В. Матиясевич доказал, что такого общего способа быть не может.

Решение уравнений в целых числах — один из самых красивых разделов математики. Ни один крупный математик не прошел мимо теории диофантовых уравнений. Ферма, Эйлер и Лагранж, Дирихле и Гаусс, Чебышев и Риман оставили неизгладимый след в этой интереснейшей теории.