Геометрические задачи на экстремум

Материал из Юнциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Задачи, где требуется определить условия, при которых некоторая величина принимает наибольшее и наименьшее значение, принято называть задачами «на экстремум» (от латинского слова extremum — «крайний») или задачами «на максимум и минимум» (от латинских maximum и minimum — соответственно «наибольшее» и «наименьшее»). Такие задачи часто встречаются в технике и естествознании, в повседневной деятельности людей.

Как из круглого бревна выпилить прямоугольную балку с наименьшим количеством отходов? Каких размеров должен быть ящик, чтобы при заданном расходе материала его объем был наибольший? В каком месте следует построить мост через реку, чтобы дорога, проходящая через него и соединяющая два города, была кратчайшей?

Эти задачи (им легко можно придать геометрический вид) имеют большое практическое значение. С их помощью можно решить важный во всяком деле вопрос, как, по словам русского математика П. Л. Чебышева, «располагать средствами своими для достижения по возможности большей выгоды». Уметь решать подобные задачи очень важно, и поэтому они привлекают большое внимание математиков.

Самая простая и, вероятно, самая древняя геометрическая задача на экстремум такая: какой из всех прямоугольников заданного периметра имеет наибольшую площадь? Решение её было известно древнегреческой математике. Оно изложено в VI книге «Начал» Евклида (см. Евклид и его «Начала»), где доказывается, что если рассмотреть прямоугольник и квадрат одного и того же периметра, то площадь квадрата будет больше. Доказательство очень простое, оно основано на сравнении площадей (рис. 1). Площадь прямоугольника равна $S_0+S_1,$ а площадь квадрата $S_0+S_2$ и $S_1 < S_2$ если $x < a.$ Таким образом, мы получаем, что из всех прямоугольников с заданным периметром наибольшую площадь имеет квадрат. В решении Евклида, во‑первых, указан ответ (квадрат) и, во‑вторых, доказано, что по площади он превосходит все другие возможные фигуры (прямоугольники данного периметра). Именно так понимается в математике решение задачи на экстремум: дать ответ и доказать его экстремальное свойство.

Рассмотренная задача относится к широкому классу геометрических задач на экстремум — так называемым изопериметрическим задачам, в которых фигура с экстремальным свойством отыскивается среди других с равным периметром. Изопериметрические задачи рассматривались древнегреческим математиком Зенодором, жившим во II–I вв. до н. э. Ему приписывают, например, доказательство следующих утверждений:

  • из всех многоугольников с равным периметром и равным числом сторон наибольшую площадь имеет правильный многоугольник;
  • из двух правильных многоугольников с равным периметром большую площадь имеет тот, у которого число углов больше.

Зенодор также формулирует изопериметрическое свойство круга: из всех плоских фигур с равным периметром наибольшую площадь имеет круг, но полным доказательством этого свойства греческая математика не располагала. Строгое доказательство было дано только в XIX в.

Изопериметрические задачи объединяют также еще одним названием — «задачи Дидоны». Они названы так по имени легендарной основательницы города Карфагена и его первой царицы. Согласно легенде, вынужденная бежать из своего родного города, Дидона вместе со своими спутниками прибыла на северный берег Африки и хотела приобрести у местных жителей землю для нового поселения. Ей согласились уступить участок земли, однако не больше, чем объемлет воловья шкура. Хитроумная Дидона разрезала воловью шкуру на узкие ремешки и, разложив их, сумела ограничить гораздо большую площадь по сравнению с той, которую можно было покрыть одной воловьей шкурой.

Если учесть, что Дидона выбирала участок, примыкающий к берегу моря, то математическую задачу, с которой она столкнулась, можно сформулировать так: какой формы должна быть кривая длины $l,$ чтобы площадь фигуры, ограниченная этой кривой и заданной линией Г, была наибольшей? (рис. 2.)

В некоторых частных случаях задача Дидоны имеет простое решение. Например, если береговая линия есть прямая и ограничиваемый участок прямоугольной формы (рис. 3), то наибольшую площадь будет иметь прямоугольник с длинами сторон $l/4$ и $l/2,$ примыкающий большей стороной к береговой линии. Решать задачу можно, используя, например, свойства квадратного трехчлена.

В общем случае, когда береговая линия — кривая Г — произвольной формы, задача Дидоны очень сложна и решается с привлечением понятий и методов математического анализа (см. Дифференциальное исчисление). Решение её относится к специальному разделу высшей математики, так называемому вариационному исчислению.

Заметим, что в математическом анализе разработаны очень сильные общие способы решения задач на экстремум (нахождение экстремумов функций). Геометрические задачи на экстремум могут быть сведены к алгебраическим и также решены методами математического анализа. Однако иногда эти задачи удается решить элементарными методами, при этом решения бывают весьма изящны и поучительны.

Одним из сильных методов решения геометрических задач на экстремум является применение неравенств, в частности неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом (см. Средние значения). Для примера рассмотрим такую задачу: каких размеров должен быть ящик (прямоугольный параллелепипед), чтобы при заданной площади поверхности его объем был наибольшим? Пусть $a,b,c$ — длины трех ребер (рис. 4), $S$ — площадь полной поверхности, $V$ — объем. Очевидно, что $S=2(ab+bc+ac),$ а $V=abc.$ Если заметить, что сумма трех величин $ab,bc,ac$ равна $S/2,$ а их произведение равно $V^2,$ и применить неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом, то будем иметь:

$\sqrt[3]{ab\cdot bc\cdot ac}\le$$\frac{ab+bc+ac}{3},$ т. е.

${{V}^{2/3}}\le \frac{S}{6}$ или $V\le {{\left( \frac{S}{6} \right)}^{3/2}}.$

Как следует из теоремы о среднем, знак равенства достигается лишь в случае $ab=bc=ac,$ т. е. при $a=b=c,$ и при этом значение объема $V$ принимает наибольшее возможное значение. Отсюда заключаем, что среди всех ящиков с заданной площадью полной поверхности наибольший объем имеет ящик кубической формы.

Назовем еще метод симметрии, эффективный при решении некоторых геометрических задач на экстремум. Суть его применения станет ясна, если мы рассмотрим такую простую задачу: на прямой $а$ требуется найти такую точку $M,$ чтобы сумма расстояний от нее до точек $A$ и $B,$ лежащих по одну сторону от прямой, имела наименьшее возможное значение (рис. 5).

Пусть точка $A′$ симметрична точке $A$ относительно прямой $a,$ а точка $M$ — точка пересечения прямых $A′B$ и $a.$ Точка $M$ и будет искомой. Действительно,

$|AM|+|MB|=|A′M|+|MB|=|A′B|.$

Для любой другой точки $Р$ прямой $а$ справедливо неравенство:

$|AP|+|PB|=|A′P|+|PB|>|A′B|$

(последнее следует из того, что ломаная длиннее отрезка, соединяющего её концы).

Решение этой задачи приписывают Герону Александрийскому, жившему в I в. Решал он, правда, физическую задачу: если в точке $A$ находится источник света, а в точке $B$ — глаз, то в какой точке $M$ отразится от плоского зеркала выходящий из точки $A$ световой луч, если известно, что угол падения равен углу отражения? (Последний факт был известен задолго до Герона Александрийского).

Как легко заметить, построенная выше точка $M$ как раз такова, что угол между прямыми $AM$ и $a$ равен углу между прямыми $MB$ и $a,$ т. е. точка $M$ и будет точкой отражения светового луча.

Из решения этой задачи Герон сделал такой вывод: отражаемый луч света выбирает кратчайший возможный путь между источником света и глазом. Заметим, что это один из первых примеров в истории науки, когда при описании физического явления использовался «принцип минимума», согласно которому природа всегда стремится избрать наиболее экономный способ.