ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР

Материал из Юнциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Наверное, каждому когда-нибудь приходилось наблюдать за теми или иными колебаниями — за движением маятника часов, качелей и т. п.

В процессе такого наблюдения можно заметить, что все эти колебания обладают замечательным свойством постоянства своего периода.

Это свойство — общее для широкого класса колебаний — первым установил Г. Галилей в 1593 г. Изохронность, или, иначе говоря, закон постоянства периода колебаний маятника, позволил впоследствии нидерландскому ученому XVII в. X. Гюйгенсу применить маятник в часах.

Необходимое условие возникновения колебаний в любой системе — наличие возвращающей силы, которая всегда стремится вернуть систему в положение равновесия после ее выведения из этого положения внешним воздействием.

Рассмотрим процесс колебания на примере простейшего колебательного движения материальной точки массой m, связанной с закрепленной пружиной жесткости k. При отклонении материальной точки на расстояние х от положения равновесия на нее начинает действовать со стороны пружины возвращающая сила F = —kx, которая стремится вернуть ее обратно. Согласно второму закону Ньютона, ускорение материальной точки пропорционально приложенной силе и обратно пропорционально величине ее массы:

a(t) = -F/m = -(k/m)x(t).

Это уравнение можно переписать в виде:

x"(t) + ω02 x(t) = 0, где через ω02 обозначено отношение k/m, а x"(t) — вторая производная по времени от смещения x(t). Непосредственной подстановкой легко проверить, что решением последнего уравнения является функция x(t) = A•sin(ω0t + φ0).

Из найденного решения видно, что связанная с пружиной материальная точка, отведенная от положения равновесия на расстояние А и предоставленная затем самой себе, будет совершать гармонические колебания около своего положения равновесия. Период этих колебаний определяется циклической частотой ω0; T=2π/ω0 и не зависит от амплитуды колебания А, которая определяет его размах.

В выражении для зависимости x(t) присутствует величина φ0, которая называется начальной фазой колебания. Как видно из приведенного выше закона гармонического колебания, начальную фазу всегда можно обратить в нуль удачным выбором начала отсчета времени.

Рассмотрим теперь это же гармоническое колебание с точки зрения закона сохранения энергии. При максимальном удалении от положения равновесия (см. рис.) скорость материальной точки равна нулю, и вся энергия системы сосредоточена в потенциальной энергии растянутой пружины. По мере приближения к положению равновесия натяжение пружины уменьшается, а скорость грузика увеличивается, и потенциальная энергия растянутой пружины постепенно переходит в кинетическую энергию движения материальной точки. При прохождении положения равновесия кинетическая энергия достигает своего максимального значения, а затем, по мере удаления грузика от положения равновесия в другую сторону, начинается обратный процесс — движение грузика замедляется, натяжение пружины увеличивается и, дойдя до крайней точки движения, материальная точка «замирает»: вся приобретенная на первом этапе движения кинетическая энергия снова перешла в потенциальную энергию пружины. После этого описанный процесс повторяется при движении грузика в обратном направлении. Таким образом, мы видим, что при гармоническом движении происходит периодический переход потенциальной энергии в кинетическую и обратно.

При максимальном отклонении грузика от положения равновесия вся энергия системы сосредоточена в потенциальной, и поэтому полная энергия колеблющейся системы может быть выражена через амплитуду колебаний и частоту:

E = kxmax2/2 = kA2/2 = mω2A2/2

Оказывается, этим свойстром обладают любые системы, колебание в которых происходит по гармоническому закону: энергия гармонического колебания (или волны) пропорциональна квадрату амплитуды этого колебания.

Единственным условием возникновения гармонических колебаний в рассмотренной системе оказалась линейная зависимость возвращающей силы от смещения. Такое условие выполняется при колебаниях многих (и не только механических) систем: это и малые колебания тела на длинной нерастяжимой нити в поле тяжести Земли (математический маятник), и колебания молекул, и электрические колебания в LC-контуре. Каждая из этих систем, обладающая свойством линейного возрастания возвращающей силы по мере удаления системы от положения равновесия, носит название линейного осциллятора (слово «осциллятор» происходит от латинского глагола, означающего «качаться»).