АСИМПТОТА

Асимптота кривой — это прямая, к которой кривая приближается сколь угодно близко при удалении в бесконечность. Представьте себе мчащийся по прямолинейному шоссе автомобиль и всадника, скачущего по полю с той же скоростью, но направленной в каждый момент на автомобиль. Маршрут всадника в этом случае будет кривой линией, называемой трактрисой, для которой линия шоссе является асимптотой. Если кривая, заданная уравнением у = f(x), удаляется в бесконечность при приближении х к конечной точке а, то прямая x = a называется вертикальной асимптотой этой кривой. Такими асимптотами являются прямая x = 0 для гиперболы y = 1/x, каждая из прямых x = kπ (k = 0, ±1, ±2, ...) для функции y = ctg x (рис. 1).

Помимо вертикальной асимптоты x = 0 гипербола y = 1/x имеет еще и горизонтальную асимптоту у = 0, как и график функции y = e^-xsin x, однако он, в отличие от гиперболы, пересекает свою горизонтальную асимптоту в бесконечном множестве точек (рис. 2).

У кривой, носящей название «декартов лист» (рис. 3), уравнение которой x³ + y³ — 3axy = 0, имеется наклонная асимптота, как и у кривой y = x + 1/x² (рис.4). Коэффициенты k и b в уравнении прямой y = kx + b, являющейся наклонной асимптотой кривой y =f(x) При стремлении к плюс или минус бесконечности, находятся как пределы:

k = lim_x→∞ f(x)/x,

b = lim_x→∞ (f(x) - kx),

Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной при k = 0.

Исследование асимптот позволяет более четко представить поведение графика функции, поскольку свойства функции вблизи ее асимптоты очень близки к свойствам асимптоты — линейной функции, свойства которой хорошо изучены. Систематическое использование этого свойства породило целое направление в современной математике — «асимптотические методы исследования». Таким образом, понятие, возникшее еще в Древней Греции, переживает в наше время второе рождение.

Не у всякой кривой, уходящей в бесконечность, есть асимптота. Например, известная вам кривая парабола асимптот не имеет.