АКСИОМА
Начальные геометрические сведения дошли до нас из глубокой древности. Например, формулы для вычисления площадей земельных участков, имеющих форму прямоугольника, треугольника, трапеции, приведены в древнеегипетских математических папирусах, относящихся к 2000 г. до н. э., в клинописных таблицах Древнего Вавилона.
Начальные геометрические знания были добыты опытным путем. Получение новых геометрических фактов при помощи рассуждений (доказательств) началось от древнегреческого ученого Фалеса (VI в. до н. э.). Ему приписывают установление свойств равнобедренного треугольника, доказательство равенства вертикальных углов, доказательство того, что вписанный угол, опирающийся на диаметр-прямой, и др. Фалес, по-видимому, применял поворот части фигуры и перегибание чертежа, т.е. то, что в наши дни называют перемещениями, или движениями (см. Геометрические преобразования).
Постепенно доказательства приобретают в геометрии все большее значение. К III в. до н.э. геометрия становится дедуктивной наукой, т. е. наукой, в которой большинство фактов устанавливается путем вывода (дедукции), доказательства. К этому времени относится книга «Начала», написанная древнегреческим ученым Евклидом (см. Евклид и его «Начала»). В ней доказываются свойства параллелограммов и трапеций, приведена теорема Пифагора (см. Пифагора теорема), изучается подобие многоугольников, рассматриваются многие другие геометрические факты.
В этой книге Евклид проводит аксиоматический взгляд на геометрию. Точка зрения Евклида была следующей. Взяв какую-либо теорему, можно проследить, какие ранее доказанные теоремы были использованы при ее выводе. Для этих ранее доказанных теорем в свою очередь можно выделить те более простые факты, из которых они выводятся, и т.д. В конце концов получается набор некоторых фактов, которые позволяют доказать все изучаемые теоремы геометрии. Эти выделенные факты настолько просты, что не возникает вопроса о необходимости их вывода. Их назвали аксиомами (это греческое слово означает «удостоенное, принятое положение»). Весь набор аксиом (система) называется аксиоматикой. Таким образом, аксиомы — это первоначальные факты геометрии, которые принимаются без доказательства и позволяют вывести из них все дальнейшие факты этой науки. Утверждения, выводимые из аксиом, называют теоремами.
Среди сформулированных Евклидом аксиом имеются, например, следующие: «через две точки можно провести прямую»; «порознь равные третьему равны между собой»; «если в плоскости даны прямая и лежащая вне этой прямой точка, то через эту точку можно провести в плоскости не более одной прямой, которая не пересекается с данной» (последняя из этих аксиом — аксиома параллельности — у Евклида формулировалась иначе).
Аксиомы есть не только в геометрии, но и в алгебре, и других математических науках. Например, равенства:
a + b = b + a,
a • b = b • a,
a + (b + c) = (a + b) + c,
a • (be) = (ab) • c,
a + 0 = a,
a • 1 = a,
a + (-a) = 0,
a • (1/a) = 1, (a ≠ 0),
a • (b + c) = ab + ac,
выражающие свойства сложения и умножения, являются в алгебре аксиомами: они принимаются без доказательства и используются для вывода новых фактов (для доказательства теорем). Например, с помощью аксиом доказывают формулы квадрата суммы или разности, правила умножения многочленов, формулу суммы членов геометрической прогрессии и т.д.
В каждой математической науке аксиомы возникают в процессе ее долгого и сложного исторического развития. Первоначальные факты накапливаются в результате практической деятельности человека. Их проверяют, уточняют, систематизируют. Исключают из них те, которые могут быть выведены из других первоначальных фактов. Иногда обнаруживается, что оставшийся список простейших фактов (аксиом) — неполный, т.е. этих фактов недостаточно для вывода всех теорем, и тогда к этому списку добавляют недостающие аксиомы. В результате и получается полный набор аксиом (аксиоматика).
После Евклида математики многих поколений стремились улучшить, дополнить его аксиоматику геометрии. Большую роль сыграли работы современника Евклида, древнегреческого ученого Архимеда, который сформулировал аксиомы, относящиеся к измерению геометрических величин. Из ученых более позднего времени существенный вклад в усовершенствование аксиоматики геометрии внесли русский математик Н. И. Лобачевский, французский математик М. Паш, итальянский математик Д. Ж. Пеано. Логически безупречный список аксиом геометрии был указан на рубеже XIX и XX вв. немецким математиком Д. Гильбертом.
