Сфера и шар

Материал из Юнциклопедии
(перенаправлено с «СФЕРА И ШАР»)
Перейти к: навигация, поиск

Точки пространства, удаленные от данной точки $O$ на данное расстояние $R$, образуют сферу с центром $O$ и радиусом $R$. Сфера ограничивает шар, состоящий из точек, удаленных от $O$ на расстояние, не большее $R$. Эти геометрические объекты, так же как окружность и круг, рассматривали ещё в глубокой древности. Открытие шарообразности Земли, появление представлений о небесной сфере дали толчок к развитию специальной науки — сферики, изучающей расположенные на сфере фигуры (см. Сферическая геометрия). Рассмотрим основные вопросы классической стереометрии: взаимное расположение шара (сферы) и других пространственных фигур, измерение объема шара и его частей, а также площади сферы и её частей.

Прежде всего, плоскость $α$, проведенная на расстоянии $d

Круговое сечение шара делит его на два шаровых сегмента, а сферу — на две сегментные поверхности. Часть шара, ограниченная двумя параллельными круговыми сечениями и лежащим между ними сферическим поясом (или зоной), называется шаровой зоной (рис. 2). Радиусы, проведенные от центра шара к точкам сферы, принадлежащим одной сегментной поверхности или сферическому поясу, образуют шаровой сектор — он может быть ограничен сферическим сегментом или зоной и одной или двумя коническими поверхностями (рис. 3). Высота шаровой или сферической зоны — это расстояние между плоскостями сечений; высота шарового сегмента или сегментной поверхности определяется как расстояние от плоскости сечения до параллельной ей плоскости, касательной к этому сегменту (рис. 2). Высоту шарового сектора определяют как высоту соответствующей сегментной поверхности или сферического пояса (рис. 3).

Еще в Древней Греции умели вычислять объемы шаровых секторов и площади сферических зон или сегментов по формулам:

${{V}_{С}}=\frac{2}{3}\pi {{R}^{2}}H,$ ${{S}_{З}}=2\pi RH,$

где $π$, как обычно, — отношение длины окружности к её диаметру. Рассматривая шар и сферу как частные случаи шарового сектора и сферической зоны — с высотами $H=2R$, — мы получаем формулы для объема шара и площади сферы:

${{V}_{Ш}}=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}},$ ${{S}_{СФ}}=4\pi {{R}^{2}}.$

Архимед интерпретировал эти формулы так: объем и поверхность шара составляют $2/3$ от объема и полной поверхности описанного около шара цилиндра (рис. 4; по желанию Архимеда такой чертеж был изображен на его гробнице).