Степенная функция

Материал из Юнциклопедии
(перенаправлено с «СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ»)
Перейти к: навигация, поиск

Степенная функция — функция вида $y=x^α$, где $α$ — заданное число, называемое показателем степени. Иногда степенной функцией называется функция несколько более общего вида $y=ax^α$.

Многие функциональные зависимости выражаются через степенную функцию. Например, объем куба $V$ есть степенная функция от $x$ (длины его ребра): $V=x^3$; период $T$ колебаний математического маятника пропорционален длине маятника $x$ в степени $1/2$, а именно $T=2π\sqrt{x/g}$. Если газ расширяется или сжимается без теплообмена с окружающей средой, то его давление $P$ и объем $V$ связаны формулой $V⋅P^k=C$ (для воздуха, например, $k=−1,4$). Заметим, что в двух последних случаях показатель не является целым числом.

При любом показателе степени $α$ показательная функция $y=x^α$ определена во всяком случае на положительной полуоси. Свойства степенной функции различны в зависимости от значения показателя степени. Если $α$ — натуральное число $(α=n)$, то функция $y=x^n$ определена на всей числовой оси, обращается в нуль при $x=0$, четная при четном $n$ и нечетная при $n$ нечетном, неограниченно возрастает при безграничном возрастании аргумента $x$. На рис. $1$ и $2$ приведены графики типичных степенных функций с целым положительным показателем: $y=x^3$ (кубическая парабола) и $y=x^4$ (парабола четвертой степени). При $n=1$ степенная функция $y=x$ является линейной функцией, при $n=2$ — квадратичной функцией $y=x^2$.

Если $α$ — отрицательное целое число $(α=−n)$, то степенная функция определяется равенством $y=1/x^n$. Она определена при всех отличных от нуля $x$. Её график состоит из двух частей (ветвей), имеющих асимптотами оси координат, к которым эти кривые неограниченно приближаются. Типичные представители — функции $y=1/x$ и $y=1/x^3$, их графики даны на рис. $3$ и $4$. При $α=0$ по определению $x^0=1$. Если $α=1/n$, то функция $y=x^{1/n}$ (обозначается также $y=\sqrt[n]{x})$ определяется как обратная функция для функции $y=x^n$. При четном $n$ функция определена лишь для $x≥0$, а при нечетном $n$ — на всей оси. Графики таких функций $y=\sqrt{x}$ и $y=\sqrt[3]{x}$ изображены на рис. $5$ и $6$.

Для рационального показателя $α=p/q$ ($p/q$ — несократимая дробь) степенная функция определяется формулой

$y=x^{p/q}=(x^{1/q})^p$.

Графики типичных степенных функций с рациональным показателем приведены на рис. $7, 8, 9$.