Софизмы

Материал из Юнциклопедии
(перенаправлено с «СОФИЗМЫ»)
Перейти к: навигация, поиск

Софизм — доказательство ложного утверждения, причем ошибка в доказательстве искусно замаскирована. Софистами называли группу древнегреческих философов IV-V вв. до н. э., достигших большого искусства в логике.

Приведем пример софизма. Если равны половины, то равны и целые. Полуполное есть то же, что и полупустое, значит, полное — то же самое, что пустое. К софизмам можно отнести доказательство того, что Ахиллес, бегущий в 10 раз быстрее черепахи, не сможет её догнать. Пусть черепаха на 100 м впереди Ахиллеса. Когда Ахиллес пробежит эти 100 м, черепаха будет впереди него на 10 м. Пробежит Ахиллес эти 10 м, а черепаха окажется впереди на 1 м и т. д. Расстояние между ними все время сокращается, но никогда не обращается в нуль. Значит, Ахиллес никогда не догонит черепаху.

А вот два математических софизма. «Докажем», что все числа равны между собой.

Пусть $a$ и $b$ — произвольные числа и пусть $a>b,$ тогда существует такое положительное число $c,$ что $a=b+c.$ Умножим это равенство на $a−b$ и преобразуем полученное равенство:

$a^2−ab=ab+ac−b^2−bc,$

$a^2−ab−ac=ab−b^2−bc,$

$a(a−b−c)=b(a−b−c).$

Разделив обе части полученного равенства на $(a−b−c),$ получим, что $a=b.$ Ошибка здесь находится в самом конце, когда мы делили на число $(a−b−c),$ которое равно нулю.

А вот «доказательство» того, что все треугольники — равнобедренные.

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$ (рис. 1). Проведем в нем биссектрису угла $B$ и серединный перпендикуляр к стороне $AC.$ Точку их пересечения обозначим через $O.$ Из точки $O$ опустим перпендикуляр $OD$ на сторону $AB$ и перпендикуляр $OE$ на сторону $BC.$ Очевидно, что $OA=OC$ и $OD=OE.$ Но тогда прямоугольные треугольники $AOD$ и $COE$ равны по катету и гипотенузе. Поэтому $∠DAO=∠ECO.$ В то же время $∠OAC=∠OCA,$ так как треугольник $AOC$ — равнобедренный. Получаем: $∠BAC=∠DAO+∠OAC=$$∠ECO+∠OCA=∠BCA.$

Итак, угол $BAC$ равен углу $BCA,$ поэтому треугольник $ABC$ — равнобедренный: $AB=BC.$

Здесь ошибка в чертеже. Серединный перпендикуляр к стороне и биссектриса противоположного ей угла для неравнобедренного треугольника пересекаются вне этого треугольника.

И еще один пример софизма. Посмотрим на рис. 2. Прямоугольники явно равносоставлены, но площадь одного равна 64 клеткам, а площадь другого — 65. И здесь ошибка в чертеже! Точки B, F и D не лежат на одной прямой, а являются вершинами очень узкого параллелограмма, площадь которого равна площади одной клетки — той самой лишней клетки.