Соотношение неопределенностей

Материал из Юнциклопедии
(перенаправлено с «СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ»)
Перейти к: навигация, поиск

В 1927 г. В. Гейзенберг, анализируя возможность измерения координаты и импульса электрона, пришел к заключению, что условия, благоприятные для измерения положения, затрудняют нахождение импульса, и наоборот — эти два понятия дополнительны друг другу. Для доказательства он ставил мысленные эксперименты: чтобы определить координату электрона, нужно осветить его и посмотреть в «микроскоп». Такой способ дает неопределенность координаты $Δq$ порядка длины волны $λ$ использованного света $Δq\simλ.$

Схема перехода атома с энергией Е2 в состояние с энергией Е1 со средним временем жизни уровня 2, равным τ2.

Для уточнения положения электрона надо брать возможно меньшую длину волны света. Но при взаимодействии с электроном свет передает ему импульс, который растет при уменьшении длины волны. Минимальный передаваемый электрону импульс будет порядка импульса одного фотона, а импульс фотона ${p}_{γ}$ связан с его длиной волны соотношением: ${p}_{γ}=2πħ/λ$ (здесь $ħ$ — постоянная Планка), поэтому неопределенность импульса электрона: $Δp>2πħ/λ.$ Умножая на $λ$ и вместо $λ$ подставляя $Δq,$ получаем:

$ΔqΔp>2πħ.$

Это и есть соотношение неопределенностей Гейзенберга.

Проделав множество подобных мысленных экспериментов с тем же результатом, нельзя не прийти к заключению, что здесь речь идет о принципиальном ограничении, которое природа накладывает на понятия координаты и импульса частицы. Этого ограничения не знала классическая физика, оно не вносит изменения в описание макрообъектов из‑за очень малой величины постоянной Планка $(ħ=1,05⋅{10}^{−34}$ Дж•с).

Помимо координаты и импульса существуют и другие величины, дополнительные друг другу. Угловое положение $φ$ вращающегося тела и его момент количества движения $М$ дополнительны. Их неопределенности связаны соотношением: $ΔφΔM>ħ.$

Как показал Н. Бор, аналогичное соотношение существует для произведения неопределенности энергии $ΔE$ и неопределенности момента взаимодействия $Δt$ объекта с измерительным прибором: $ΔEΔt_{\sim }^{>}ħ.$ Для пояснения этого соотношения сделаем еще один мысленный эксперимент.

Допустим, в экране, на который падает частица, имеется отверстие, достаточно широкое, чтобы пренебречь неопределенностью поперечного импульса, возникающего при прохождении частицы через экран. Пусть отверстие закрывается заслонкой на определенное время $Δt.$ Поскольку момент взаимодействия частицы с краями отверстия имеет неопределенность $Δt,$ то неопределенность координаты частицы в продольном направлении есть $Δq=vΔt,$ где $v$ — скорость частицы. Предполагается, что при прохождении отверстия скорость мало изменилась. Согласно соотношению неопределенностей Гейзенберга, неопределенность импульса частицы $Δp_{\sim }^{>}ħ/Δq=ħ/vΔt.$ Но неопределенность импульса создает неопределенность энергии $ΔE=vΔp=ħ/Δt,$ а это и есть соотношение неопределенностей Бора.

До сих пор говорилось о неопределенностях, которые возникают в акте измерения. В этих случаях уравнение Шрёдингера неприменимо для описания частицы хотя бы потому, что она не изолирована, а взаимодействует с другой системой, играющей роль измерительного прибора.

Есть соотношение неопределенностей, имеющее другой физический смысл. Пусть частица находится в определенном состоянии, описываемом волновой функцией, которая удовлетворяет уравнению Шрёдингера. В этом состоянии интервалы возможных значений дополнительных величин (например, средние квадратичные отклонения импульса и координаты частицы от их средних значений) будут удовлетворять соотношению неопределенностей.

Так, в основном состоянии атома водорода волновая функция дает интервал возможных значений координаты электрона, который связан с интервалом возможных значений импульса соотношением: $ΔpΔq_{\sim }^{>}ħ.$ Отсюда можно оценить радиус атома $a,$ характеризующий интервал возможных значений координаты. В основном состоянии потенциальная энергия электрона $e^2/a$ должна быть примерно равна кинетической энергии $p^2/2m$ (где $p$ по порядку величины равно возможному значению импульса $p∼ħ/a$). Приравнивая эти две энергии, получаем оценку для радиуса атома $a=ħ^2me^2$ и для энергии ионизации $I=me^4/ħ^2.$

Атом в возбужденном состоянии имеет неопределенную энергию. Эта неопределенность объясняется переходом на нижние уровни, сопровождающимся испусканием кванта. Неопределенность энергии связана соотношением Бора со временем жизни атома $τ$ по отношению к испусканию света: $ΔEτ_{\sim }^{>}ħ.$

Соотношение неопределенностей — частный случай и конкретное выражение общего принципа дополнительности, сформулированного Н. Бором в 1927 г. Именно этот принцип позволяет примирить, казалось бы, непримиримое: ведь электрон проявляет себя в различных экспериментах то как частица, то как волна. Квантовая механика осуществляет синтез этих понятий и дает возможность предсказать исход любого опыта, в котором проявляются как корпускулярные, так и волновые свойства частиц.

Принцип дополнительности Бор применял во многих областях. Так, например, физическая картина явления и его математическое описание дополнительны. Создание физической картины требует пренебрежения деталями и уводит от математической точности, а попытка точного математического описания явления затрудняет его ясное понимание.

Квантовая механика не дает однозначного ответа на некоторые вопросы, а лишь предсказывает вероятность того или иного результата. Классическая физика не знала неопределенности. Если задать координаты и. скорости механической системы, то можно однозначно предсказать все её поведение. В то же время, как следует из соотношения неопределенностей, задать координаты и скорости всех частиц невозможно, есть возможность лишь задать в начальный момент волновую функцию системы. Квантовая механика позволяет найти её в любой следующий момент.

Невозможность однозначно предсказать исход опыта была настолько непривычной, что вызвала множество возражений. Достаточно ли полно квантовомеханическое описание, или нужно создать более точную теорию? Многолетний спор Бора с Эйнштейном по этому поводу привел к углублению и уточнению понятий квантовой физики.

Особенность квантовой механики состоит в том, что свойства микроскопических объектов нельзя изучать, отвлекаясь от способа наблюдения. В зависимости от него электрон проявляет себя либо как волна, либо как частица, либо как нечто промежуточное. Конечно, существуют свойства, не зависящие от способа наблюдения: масса, заряд, спин частицы… Но всякий раз, когда мы хотим одновременно измерить дополнительные друг другу величины — такие, как координата и скорость, результат будет зависеть от способа наблюдения.

Принципиальная неопределенность некоторых величин есть следствие применения классических понятий к описанию неклассических объектов. Квантовая природа микрообъектов дополнительна их классическому описанию.