Расстояние

Материал из Юнциклопедии
(перенаправлено с «РАССТОЯНИЕ»)
Перейти к: навигация, поиск

Расстоянием между двумя точками $A$ и $B$ плоскости (или пространства) называется длина отрезка $AB;$ если выбрана единица измерения, то расстояние будет неотрицательным числом, которое обозначается так: $ρ(A,B),$ или $|AB|,$ или просто $AB.$ По определению $ρ(A,A)=0.$

Рис. 1.
Рис. 2.

В разнообразных математических ситуациях, да и в повседневной жизни мы часто оцениваем удаленность друг от друга двух объектов с помощью «расстояний», отличных от обычного. Скажем, расстоянием между точками $A$ и $B$ на глобусе естественно считать длину меньшей из двух дуг $AB$ окружности большого круга (проходящего через точки $A$ и $B$). Расстояние между $A$ и $B$ также характеризует минимальное время, за которое можно добраться из пункта $A$ в пункт $B.$ Если измерить расстояние между Новосибирском и Душанбе по глобусу (или посмотреть в авиационный справочник), получится примерно $2100$ км. В железнодорожном справочнике указано другое число: $3895$ км. В этом, конечно, нет ничего удивительного: поезда не могут ездить напрямик, как летают самолеты, поэтому железнодорожники и летчики оценивают расстояние по‑разному.

Для построения теории расстояния, применимой во многих разделах математики, оказывается достаточно выделить очень небольшое число основных свойств расстояния.

Пусть каждым двум элементам $a,b$ множества $X$ по некоторому правилу сопоставлено число $ρ(a,b)≥0,$ при этом выполнены три условия:

$1)$ $ρ(a,b)=0$ тогда и только тогда, когда $a=b;$

$2)$ ρ(a,b)=ρ(b,a) для любых двух $a$ и $b;$

$3)$ $ρ(a,c)≤ρ(a,b)+ρ(b,c)$ для любых трех элементов $a,b,c$ из $X.$

Множество $X,$ снабженное такой функцией $ρ,$ называется метрическим пространством. Свойство $(3)$ для обычного расстояния на плоскости выражает тот факт, что длина каждой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон; это свойство называется неравенством треугольника. В конкретных примерах именно оно не очевидно и нуждается в проверке. Неравенство треугольника на сфере сводится к такой теореме: любой плоский угол $COA$ трехгранного угла $ABCO$ меньше суммы двух других плоских число ребер в пути, соединяющих эти вершины.

Расстояние между двумя точками $a$ и $b$ числовой прямой $R$ равно $|a−b|.$ В прямоугольной декартовой системе координат на плоскости расстояние между двумя точками $A(x_1,y_1)$ и $B(x_2,y_2)$ выражается с помощью теоремы Пифагора по формуле:

$ρ(A,B)=\sqrt{(x_1−x_2)^2+(y_1−у_2)^2}.$

Аналогичная формула в пространстве для расстояния между точками $A(x_1,y_1,z_1) и B(x_2,y_2,z_2):$

$ρ(A,B)=$ $\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1−y_2)^2+(z_1−z_2)^2}.$

На одном и том же множестве $X$ можно многими разными способами ввести расстояние. Например, на плоскости за расстояние между точками $A(x_1,y_1)$ и $B(x_2,y_2)$ можно принять $ρ_1(A,B)=|x_1−x_2|+|y_1−y_2|$ или $ρ_2(A,B)=\mathrm{max}\{|x_1−x_2|,|y_1−y_2|\}$ — наибольшее из двух чисел $|x_1−x_2|,|y_1−y_2|.$

Расстояние можно определять не только между точками. Так, расстоянием от точки $A$ до прямой $l$ (или до плоскости в пространстве) называется длина перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $l$ (на плоскость $p$). Вообще, расстоянием от точки $A$ до фигуры $F$ называется наименьшее из расстояний от этой точки до точек фигуры $F.$ Иногда используют аналогичное определение расстояния между двумя непересекающимися фигурами; в частности, расстоянием между двумя параллельными или скрещивающимися прямыми (рис. $2$) считается длина перпендикулярного обеим прямым отрезка с концами на этих прямых — наименьшее из расстояний между точками двух прямых.