Предел

Предел важнейшее понятие математики. Говорят, что число а есть предел переменной величины x, если в процессе своего изменения х неограниченно приближается к а. Поясним это примерами.

В равнобедренный треугольник впишем окружность (рис. 1), диаметр этой окружности обозначим х₁. К окружности параллельно основанию проведем касательную и получим треугольник, подобный данному. В этот треу-юльник снова впишем окружность, диаметр ее обозначим х₂, проведем к ней касательную, параллельную основанию, и в полученный меньший треугольник опять впишем окружность. И так далее. Такие построения можно продолжать неограниченно долго и в результате получить последовательность вписанных все уменьшающихся окружностей и соответствующую им последовательность длин их диаметров: х₁, х₂, x₃ ... .

Эта последовательность длин диаметров дает пример переменной величины которая в процессе своего изменения, т. е. с возрастанием номера n, неограниченно приближается к нулю. Предел этой последовательности равен нулю: а = 0.

С рассмотренной последовательностью вписанных окружностей свяжем другую переменную величину у_n последовательность сумм их диаметров:

y₁ = x₁,

y₂ = x₁ + x₂,

y₃ = x₁ + x₂ + x₃,

.......................................

Будет ли эта переменная стремиться к какому-нибудь пределу? Утвердительный ответ последует, если мы рассмотрим рис. 2 (здесь все диаметры повернуты на угол 90°): предел последовательности y_n равен h - длине высоты равнобедренного треугольника, а = h.

Теперь представим себе математический маятник (рис. 3). Выведем его из положения равновесия - отклоним от вертикальной прямой и отпустим. Маятник начнет совершать колебания относительно положения равновесия, причем из-за трения и сопротивления воздуха размах колебаний будет постепенно уменьшаться. Если характеризовать положение маятника величиной x его отклонения от вертикальной прямой (амплитудой), считая х положительной справа и отрицательной слева, то получим пример переменной величины х, которая в процессе своего изменения стремится к нулю. Ее предел а равен нулю. Заметим, что переменная х есть функция времени, а поскольку время течет непрерывно, то говорят, что это функция непрерывного аргумента.

Все эти примеры показывают, что приближение переменной величины к своему пределу может быть различным. Последовательность (х_n) диаметров стремится к нулю, оставаясь все время больше нуля. Последовательность у_n сумм диаметров, напротив, все время меньше длины высоты h, к которой она стремится. А переменная величина х то больше нуля, то меньше нуля, то равна нулю - своему пределу. Общее же в этих примерах то, что абсолютная величина разности предельного значения и значения переменной, т.е. величина |x - а|, в каждом случае становится и остается меньше любого наперед заданного сколь угодно малого положительного числа.

Понятие предела опирается на интуитивное представление о процессе изменения и неограниченного приближения и, конечно, в таком виде не является математически строгим. Точное математическое определение предела оформилось в математике лишь в начале XIX в. В связи с этим потребовалось уяснить понятие функции, а также развить теорию действительного числа. До этого почти два столетия в математике существовало интуитивное представление о пределе, однако и оно оказалось чрезвычайно плодотворным, так как внесло в математику совершенно новый метод рассуждений - метод пределов. Его применение и развитие привели к созданию дифференциального исчисления и интегрального исчисления, к созданию математического анализа.

Суть этого метода состоит в том, что для определения неизвестной величины находят ее приближения, при этом не одно-два, а неограниченное число таких приближений. Если эти приближения становятся все более точными, отличаются от определяемой величины все меньше и меньше, то сама величина находится как предел этих приближений.

Подобных рассуждений древнегреческая математика не знала. Если в ней и рассматривались приближения, как, например, у Евдокса и Архимеда в их «методе исчерпывания» при определении площадей и объемов, то число этих приближений было невелико, и, кроме того, установление равенства между искомой площадью (или объемом) и уже известной проводилось элементарными геометрическими методами (см. Кавальеры принцип). Теперь же, в методе пределов, строятся бесконечные приближения и неизвестная величина определяется как предел.

Чтобы дать представление о методе пределов, рассмотрим задачу, которая не может быть решена методами элементарной математики. Требуется определить площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс, дугой параболы, уравнение которой у = х², и прямой х = а (рис. 4). Разделим отрезок [0; а] на n равных частей длиной h = а/n, на каждой из этих частей построим прямоугольник, левая вершина которого лежит на параболе. Найдем сумму площадей всех таких прямоугольников, т. е. найдем площадь заштрихованной фигуры:

S_n = 0•h + h²•h + (2h)²•h + ... + ((n - 1)h)²h = h³(1 + 2² + ... + (n - 1)²) = (a³/n³)•n(n - 1)(2n - 1)/6

(здесь использована формула для суммы квадратов первых к натуральных чисел, известная еще Архимеду).

Преобразуем выражение для S_n к виду

S_n = a³/3 + (a³/6) • 1/n² - (a³/2) • 1/n.

Легко понять, что сумма двух последних слагаемых стремится к нулю при неограниченном увеличении n и, значит, S_n стремится к величине a³/3. Как видно из рис. 4, сумма площадей заштрихованных прямоугольников при неограниченном увеличении числа п таких прямоугольников будет стремиться к площади криволинейной фигуры. Следовательно, искомая площадь также равна а³/3, т.е. равна пределу последовательности S_n.

Метод пределов не возник в математике сам собой, он оформился постепенно в результате труда многих математиков, которые начали рассматривать новые для своего времени задачи, не решаемые элементарными методами. Это были задачи определения размеров тел и центра их тяжести, нахождения длин кривых, построения касательных к кривым, нахождения мгновенной скорости при неравномерном движении. Постепенно накапливался опыт и вырабатывались приемы решения подобных задач в общей постановке, например задач, когда требовалось определить мгновенную скорость не в данном конкретном движении, а в любом, если только была известна зависимость пути от времени. Это привело к формированию на основе понятия предела новых понятий интеграла и производной, к созданию математического анализа. Очевидно, что с применением метода пределов потребовалось развить способы вычисления пределов, установить правила действий с пределами, т. е. создать теорию пределов. Основным понятием в этой теории стало понятие бесконечно малой - переменной, предел которой равен нулю. В этот период математический анализ назывался анализом бесконечно малых.

Если предел переменной величины х равен а, то пишут х → а (читается: «х стремится к а») либо lim х = а (читается: «предел х равен a»); lim - это первые три буквы латинского слова limes, которое и означает «предел». Слово limes для обозначения предела впервые употребил И. Ньютон, символ lim ввел французский ученый С. Люилье в 1786 г., а выражение lim_n→∞ первым записал англичанин У. Гамильтон в 1853 г. Для последовательности, как правило, под знаком предела ставят символ n→∞, т.е. пишут lim_n→∞ x_n, что означает «предел х_n при неограниченном возрастании n». Для функции под знаком предела указывают, к какому значению стремится аргумент, т.е. пишут lim x(t). Это читается так: «предел функции x(t)^t→t₀ при стремлении t к t₀».

В теории пределов изучаются свойства пределов, устанавливаются условия, при которых предел переменной существует, находятся правила, по которым, зная пределы нескольких простых переменных величин, можно вычислять пределы функций этих величин.

Сформулируем некоторые теоремы теории пределов.

1. Переменная в заданном процессе изменения может иметь только один предел.

2. Для того чтобы предел переменной х был равен а, необходимо и достаточно, чтобы разность х - а была бесконечно малой.

Пусть переменные х, у, z рассматриваются в одном и том же процессе изменения (это могут быть последовательности х_n, у_n, z_n или функции x(t), y(t), z(f)), тогда:

3. если lim х = lim у = а и в каждый момент изменения выполняется неравенство х ≤ z ≤ у, то lim z = а;

4. если lim х = a, lim у = b, а с - постоянная, то переменные х + у, х - у, сх, ху имеют предел и

lim (х + у) = а + b, lim (х - у) = a - b,

lim (сх) = с•а, lim (ху) = а•b.

Кроме того, если b ≠ 0, то lim х/у = а/b.

В примере определения площади между дугой параболы и осью абсцисс S_n было представлено в виде

S_n = a₃/3 + (a₃/6)•1/n₂ - (a₃/2)•1/n = a₃/3 + α_n.

Используя очевидный предел lim_n→∞ 1/n = О и теорему 4, можем показать, что lim_n→∞ α_n = О, действительно,

lim_n→∞ ((a₃/6)•1/n₂ - (a₃/2)•1/n) = (a₃/6) lim_n→∞ (1/n)² - (a₃/2) lim_n→∞ 1/n = (a₃/6)•0 - (a₃/2)•0 = 0

А так как разность S_n - a₃/3 = α_n есть бесконечно малая, то заключаем: lim_n→∞ S_n = a₃/3.

Вернемся к рис. 1. Если взять равнобедренный треугольник, у которого длина боковой стороны в 2 раза больше основания, то для значения длины диаметра х_n и суммы длин диаметров у_n получим выражения:

x_n = (2h/5)•(3/5)^n-1, y_n = h - h(3/5)ⁿ.

В теории пределов доказывается, что qⁿ → 0, если положительное число q меньше 1, отсюда следует, что

lim_n→∞ x_n = lim_n→∞ (2h/3)(3/5)ⁿ = (2h/3) lim_n→∞ (3/5)ⁿ = 0,

lim_n→∞ y_n = lim_n→∞ (h - h(3/5)ⁿ) = h - h•lim_n→∞ (3/5)ⁿ = h.

Важный случай представляет собой отношение двух переменных x/z, когда обе одновременно стремятся к нулю, говорят, что тогда имеет место неопределенность вида 0/0.

Рассмотрим функцию у = (sin х)/х, которая, если считать, что х измеряется в радианной мере, определена для всех отличных от нуля х, а при стремлении х к нулю имеет неопределенность вида 0/0.

Возьмем несколько значений углов, близких к нулю: 10°, 5°, 2°, 1°, 30'. По тригонометрическим таблицам найдем соответствующие значения синусов, пересчитаем эти углы в радианной мере (напомним, что градусная мера угла φ связана с его радианной мерой х следующим образом:

x = πφ = 0,0174φ)

и найдем значения отношения (sinx)/x. Полученные данные представим таблицей (значения даны с точностью до 0,0001):

Величина угла в градусной мере || Величина угла в радианной мере || sinx || sinx/x

10° 0,1745 0,1736 0,9948

5° 0,0873 0,0872 0,9988

2° 0,0349 0,0349 1

1° 0,0175 0,0175 1

30' 0,0087 0,0087 1

Данные этой таблицы приводят к мысли, что предел отношения (sin x)/x при стремлении х к 0 равен 1. Доказательство этого может быть получено из неравенства sin х < х < tg х, верного, как видно из рис. 5, для всех положительных х из первой четверти. Из левого неравенства следует (sinx)/x < 1, а из правого cos х < (sin х)/х. Таким образом, получаем, что cos х < (sinx)/x < 1.

Заметим, что функция у = (sin x)/x четная, поэтому это неравенство оказывается верным и для отрицательных х.

Выражение (sin х)/х оказалось заключенным между cos х и 1, следовательно, отличается от 1 меньше, чем от нее отличается cos x. А так как при стремлении х к нулю cos х стремится к 1, то (sin x)/x → 1.

Предел lim_x→0 (sin x)/x = 1

называется замечательным пределом и используется для вычисления многих других пределов. Заметим, что для нахождения пределов отношений с неопределенностью вида 0/0 в теории пределов разработаны методы раскрытия неопределенностей.

В развитии теории пределов принимали участие И. Ньютон, Г. Лейбниц, Ж. Даламбер, Л. Эйлер. Современная теория предела основана на строгом определении предела, данном О. Коши, и была существенно продвинута работами математиков XIX в. К. Вейерштрасса и Б. Больцано (о пределе последовательности см. Последовательность).