Определитель матрицы

Материал из Юнциклопедии
(перенаправлено с «ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ»)
Перейти к: навигация, поиск

Определитель матрицы — число, поставленное по определенным правилам в соответствие квадратной матрице.

Определителем квадратной матрицы второго порядка

$A=\left( \begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} \\ {{a}_{21}} & {{a}_{22}} \\ \end{matrix} \right)$ называют число ${{a}_{11}}{{a}_{22}}-{{a}_{12}}{{a}_{21.}}$

Его обозначают $det A$, или

$\left| \begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} \\ {{a}_{21}} & {{a}_{22}} \\ \end{matrix} \right|$

Часто вместо слова «определитель» говорят «детерминант», откуда и взялось указанное обозначение.

Определитель третьего порядка определим через определители второго порядка:

$\left| \begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} & {{a}_{13}} \\ {{a}_{21}} & {{a}_{22}} & {{a}_{23}} \\ {{a}_{31}} & {{a}_{32}} & {{a}_{33}} \\ \end{matrix} \right|=$ ${{ a}_{11}}\left| \begin{matrix} {{a}_{22}} & {{a}_{23}} \\ {{a}_{32}} & {{a}_{33}} \\ \end{matrix} \right|-$ ${{a}_{12}}\left| \begin{matrix} {{a}_{21}} & {{a}_{23}} \\ {{a}_{31}} & {{a}_{33}} \\ \end{matrix} \right|+$ ${{a}_{13}}\left| \begin{matrix} {{a}_{21}} & {{a}_{22}} \\ {{a}_{31}} & {{a}_{32}} \\ \end{matrix} \right|$

Здесь первые множители в знакочередующейся сумме — числа первой строки, а вторые множители — определители матриц, полученных вычеркиванием строки и столбца, которым принадлежит первый множитель.

Порядок определителя можно увеличивать и дальше. Пусть определены определители матриц вплоть до $(n-1)$‑го порядка. Определителем матрицы $n$‑го порядка

$A=\left| \begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} & \cdots & {{a}_{1n}} \\ {{a}_{21}} & {{a}_{22}} & \cdots & {{a}_{2n}} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {{a}_{n1}} & {{a}_{n2}} & \cdots & {{a}_{nn}} \\ \end{matrix} \right|$

назовем число

$\det A=$ ${{a}_{11}}\left| \begin{matrix} {{a}_{22}} & {{a}_{23}} & \cdots & {{a}_{2n}} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {{a}_{n2}} & {{a}_{n3}} & \cdots & {{a}_{nn}} \\ \end{matrix} \right|−$ ${{a}_{11}}\left| \begin{matrix} {{a}_{21}} & {{a}_{23}} & \cdots & {{a}_{2n}} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {{a}_{n1}} & {{a}_{n3}} & \cdots & {{a}_{nn}} \\ \end{matrix} \right|+…+$ ${{(-1)}^{n+1}}{{a}_{1n}}\left| \begin{matrix} {{a}_{21}} & {{a}_{22}} & \cdots & {{a}_{2(n-1)}} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {{a}_{n1}} & {{a}_{n2}} & \cdots & {{a}_{n(n-1)}} \\ \end{matrix} \right|,$

где вновь имеем знакочередующуюся сумму произведений, в которых один из множителей — элемент первой строки, а другой — определитель матрицы $(n−1)$‑го порядка, полученной вычеркиванием той строки и того столбца, которым принадлежит первый множитель.

Вычислим, например, определитель третьего порядка:

$\left| \begin{matrix} 3 & 2 & 1 \\ 4 & 5 & -7 \\ 2 & -1 & 3 \\ \end{matrix} \right|=$ $3\left| \begin{matrix} 5 & -7 \\ -1 & 3 \\ \end{matrix} \right|-$ $2\left| \begin{matrix} 4 & -7 \\ 2 & 3 \\ \end{matrix} \right|+$ $1\left| \begin{matrix} 4 & 5 \\ 2 & -1 \\ \end{matrix} \right|=$ $3(5\cdot 3-(-7)(-1))-$ $2(4\cdot 3-(-7)\cdot 2)+$ $1(4(-1)-5\cdot 2)=$ $24-52-14=-42.$

Определители играют важную роль в решении систем линейных уравнений.

Любопытно, что если составить из координат двух векторов $\vec{a}=({{a}_{1}},{{a}_{2}})$ и $\vec{b}=({{b}_{1}},{{b}_{2}})$ определитель

$\left| \begin{matrix} {{a}_{1}} & {{a}_{2}} \\ {{a}_{1}} & {{a}_{2}} \\ \end{matrix} \right|,$

то его величина, с точностью до знака, равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах (рис. 1), а для трех векторов в пространстве $\vec{a}=({{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}})$, $\vec{b}=({{b}_{1}},{{b}_{2}},{{b}_{3}})$, $\vec{c}=({{c}_{1}},{{c}_{2}},{{c}_{3}})$ определитель

$\left| \begin{matrix} {{a}_{1}} & {{a}_{2}} & {{a}_{3}} \\ {{b}_{1}} & {{b}_{2}} & {{b}_{3}} \\ {{c}_{1}} & {{c}_{2}} & {{c}_{3}} \\ \end{matrix} \right|,$

равен, опять с точностью до знака, объему параллелепипеда, построенного на этих векторах (рис. 2).