Окружность девяти точек

Материал из Юнциклопедии
(перенаправлено с «ОКРУЖНОСТЬ ДЕВЯТИ ТОЧЕК»)
Перейти к: навигация, поиск

У каждого треугольника имеется, и притом единственная, окружность девяти точек. Это — окружность, проходящая через следующие три тройки точек, положение которых определено для треугольника (рис. 1): основания его высот $D_1,$ $D_2$ и $D_3,$ основания его медиан $D_4,$ $D_5$ и $D_6,$ середины $D_7,$ $D_8$ и $D_9$ отрезков прямых от точки пересечения его высот $Н$ до его вершин.

Эта окружность, найденная в XVIII в. великим ученым Л. Эйлером (поэтому её часто также называют окружностью Эйлера), была заново открыта в следующем столетии учителем провинциальной гимназии в Германии. Звали этого учителя Карл Фейербах (он был родным братом известного философа Людвига Фейербаха). Дополнительно К. Фейербах выяснил, что окружность девяти точек имеет еще четыре точки, тесно связанные с геометрией любого данного треугольника. Это — точки её касания с четырьмя окружностями специального вида (рис. 2). Одна из этих окружностей вписанная, остальные три — вневписанные. Они вписаны в углы треугольника и касаются внешним образом его сторон. Точки касания этих окружностей с окружностью девяти точек $D_{10},$ $D_{11},$ $D_{12}$ и $D_{13}$ называются точками Фейербаха. Таким образом, окружность девяти точек является в действительности окружностью тринадцати точек.

Окружность эту очень легко построить, если знать два её свойства. Во‑первых, центр окружности девяти точек лежит в середине отрезка, соединяющего центр описанной около треугольника окружности с точкой $H$ — его ортоцентром (точка пересечения его высот). Во‑вторых, её радиус для данного треугольника равен половине радиуса описанной около него окружности.

См. также