Необходимое и достаточное условия

Необходимое и достаточное условия — форма записи и осмысления математической теоремы. Например, теорему (рис. 1) «если точка [math]C[/math] не лежит на прямой [math]AB[/math], то [math]AC+BC\gt AB[/math]» можно разъяснить так: достаточно знать, что точка [math]C[/math] не принадлежит прямой [math]AB[/math], и тогда мы можем утверждать, что [math]AC+BC\gt AB[/math]. В математике принято эту формулировку, содержащую слово «достаточно», выражать по‑другому: для того чтобы имело место неравенство [math]AC+BC\gt AB[/math], достаточно, чтобы точка [math]C[/math] не принадлежала прямой [math]AB[/math].

• 

  Рис. 1.

• 

  Рис. 2.

• 

  Рис. 3.

• 

  Рис. 4.

• 

  Рис. 5.

Вообще, если сказано, что некоторое утверждение [math]P[/math] является достаточным для [math]Q[/math], то это означает, что утверждается справедливость теоремы, в которой [math]P[/math] — условие, а [math]Q[/math] — заключение.

Рассмотренную теорему можно разъяснить еще и так: если [math]C∉(AB[/math]), то непременно должно быть выполнено неравенство [math]AC+BC\gt AB[/math]. В математике принято эту формулировку выражать по‑другому, используя слово «необходимо»: для того чтобы точка [math]C[/math] лежала вне прямой [math]AB[/math], необходимо выполнение неравенства [math]AC+BC\gt AB[/math].

Вообще, если сказано, что некоторое утверждение [math]Q[/math] является необходимым для [math]P[/math], то это означает, что утверждается справедливость теоремы, в которой [math]P[/math] — условие, а [math]Q[/math] — заключение.

Иначе говоря, каждую теорему (рис. 2)

[math](…)P⇒Q[/math]

(где многоточие выражает разъяснительную часть теоремы, [math]P[/math] — условие, [math]Q[/math] — заключение) можно выразить следующими способами:

1) если верно [math]P[/math], то верно и [math]Q[/math];

2) для справедливости [math]Q[/math] достаточно, чтобы выполнялось [math]P[/math];

3) для справедливости [math]P[/math] необходимо, чтобы выполнялось [math]Q[/math].

Если для некоторой теоремы справедлива также и обратная ей теорема, то её формулировку можно выразить по‑другому, используя слова «необходимо и достаточно». Например, теорема (рис. 3)

[math](дан △ABC)\quad(AC=BC)⇒(∠A=∠B)[/math]

и обратная ей теорема

[math](дан △ABC)\quad(∠A=∠B)⇔(AC=BC)[/math]

— обе справедливы. Иными словами, для того чтобы треугольник был равнобедренным, необходимо, чтобы два угла этого треугольника были равными (исходная теорема); кроме того, чтобы треугольник был равнобедренным, достаточно, чтобы два угла этого треугольника были равными (обратная теорема). Это кратко записывается в виде

[math](дан △ABC)\quad(AC=BC)⇔(∠A=∠B)[/math]

и читается словами так: для того чтобы треугольник был равнобедренным, необходимо и достаточно, чтобы два угла этого треугольника были равными.

<addc>G</addc>

Вот еще несколько примеров необходимых и достаточных условий. 1) Для того чтобы углы были вертикальными, необходимо, чтобы они были равными. 2) Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, достаточно, чтобы все его углы были прямыми. 3) Для параллельности прямых [math]a[/math] и [math]b[/math] необходимо и достаточно, чтобы они были симметричны относительно некоторой точки. 4) Для того чтобы параллелограмм был ромбом, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали были перпендикулярны. 5) Для того чтобы диагонали четырехугольника были перпендикулярны, достаточно, чтобы он был ромбом. 6) Для того чтобы четырехугольник [math]ABCD[/math] был прямоугольником, необходимо, чтобы его диагонали были равны: [math]AC=BD[/math]. 7) Для того чтобы число [math]{{x}_{0}}[/math] было корнем многочлена [math]f(x)={{x}^{n}}+{{a}_{1}}{{x}^{n-1}}+[/math] [math]{{a}_{2}}{{x}^{n-2}}+\ldots +{{a}_{n-1}}x+{{a}_{n}},[/math] необходимо и достаточно, чтобы многочлен [math]f(x)[/math] без остатка делился на [math]x-{{x}_{0}}.[/math] 8) Для того чтобы дифференцируемая на [math][a,b][/math] функция [math]f(x)[/math] достигала (рис. 4) максимума (или минимума) в некоторой внутренней точке [math]{{x}_{0}}[/math] отрезка [math][a,b],[/math] необходимо, чтобы в этой точке производная функции обращалась в нуль: [math]f({{x}_{0}})=0.[/math] 9) Для того чтобы система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель этой системы был отличен от нуля. 10) Для того чтобы прямая [math]a[/math] была перпендикулярна плоскости [math]α[/math], достаточно, чтобы прямая [math]а[/math] была перпендикулярна двум непараллельным прямым, лежащим в плоскости [math]α[/math] (рис. 5).

Слова «необходимо и достаточно» нередко заменяются словами: «тогда, и только тогда, когда» или «в том, и только в том, случае, если». Например, четырехугольник в том, и только в том, случае является параллелограммом, если его диагонали, пересекаясь, делятся пополам.

Вместо того чтобы сказать «достаточное условие», «необходимое условие», иногда говорят «достаточный признак», «необходимый признак». Иногда даже говорят просто «признак», считая ясным, о каком из признаков (достаточном или необходимом) идет речь. Например, теорема «для того чтобы число делилось на [math]9[/math], необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на [math]9[/math]» называется признаком делимости на [math]9[/math]. Теоремы о накрест лежащих углах при пересечении двух прямых третьей (взаимно обратные друг другу) объединяются общим названием «признак параллельности».