Матрица

Материал из Юнциклопедии
(перенаправлено с «МАТРИЦА»)
Перейти к: навигация, поиск

Матрица — прямоугольная таблица, составленная из чисел.

Располагать те или иные данные в виде прямоугольных таблиц приходится довольно часто. Например, если три завода выпускают пять различных видов продукции, то отчет о производстве за год может быть дан в виде таблицы

$X=\left( \begin{matrix} {{x}_{11}} & {{x}_{12}} & {{x}_{13}} & {{x}_{14}} & {{x}_{15}} \\ {{x}_{21}} & {{x}_{22}} & {{x}_{23}} & {{x}_{24}} & {{x}_{25}} \\ {{x}_{31}} & {{x}_{32}} & {{x}_{33}} & {{x}_{34}} & {{x}_{35}} \\ \end{matrix} \right)$

где ${{x}_{ij}}$ — количество продукции j‑го вида, выпущенное $i$‑м заводом в течение этого года. Кратко будем обозначать эту таблицу $X=({{x}_{ij}})$ и назовем её прямоугольной матрицей с тремя строками и пятью столбцами. Аналогично определяется понятие прямоугольной матрицы с $m$ строками и $n$ столбцами (или, короче, $(m×n)$ — матрицы). При $m=n$ такую матрицу называют квадратной, а число $n$ — порядком этой матрицы.

Если ассортимент продукции не изменился в течение следующего года, то отчет о производстве за второй год тоже имеет вид матрицы $Y=({{y}_{ij}})$. Но тогда выпуск продукции за два года выражается матрицей $X+Y=({{x}_{ij}}+{{y}_{ij}})$. Вообще, при сложении двух $(m×n)$ — матриц складываются соответствующие элементы этих матриц. Если же в течение второго года производство каждого вида продукции на каждом заводе увеличилось на 20%, то для любых $i, j$ верно равенство ${{y}_{ij}}=1,2\cdot {{x}_{ij}}$. В этом случае пишут $Y=1,2X$. Чтобы умножить матрицу $X$ на число $λ$, надо умножить на это число каждый элемент матрицы.

Выпуск продукции можно выражать не только в штуках, метрах или тоннах, но и в рублях. Для этого надо знать цену каждого вида продукции. Поскольку она может меняться от года к году, обозначим через ${{λ}_{ij}}$ цену $j$‑го вида продукции в $k$‑й год. Эти цены можно записать в виде $(m×s)$‑матрицы $Λ$, где $n$ — число видов продукции и $s$ — число лет. Например, при $s=4$ имеем матрицу

$Λ =\begin{matrix} {{λ}_{11}} & {{λ}_{12}} & {{λ}_{13}} & {{λ}_{14}} \\ {{λ}_{21}} & {{λ}_{22}} & {{λ}_{23}} & {{λ}_{24}} \\ {{λ}_{31}} & {{λ}_{32}} & {{λ}_{33}} & {{λ}_{34}} \\ {{λ}_{41}} & {{λ}_{42}} & {{λ}_{43}} & {{λ}_{44}} \\ {{λ}_{51}} & {{λ}_{52}} & {{λ}_{53}} & {{λ}_{54}} \\ \end{matrix}$

Выпуск продукции $i$‑м заводом за $k$‑й год, выраженный в рублях, составит величину

${{a}_{ik}}={{x}_{i1}}{{λ}_{1k}}+{{x}_{i2}}{{λ}_{2k}}+\ldots +{{x}_{in}}{{λ}_{nk,}}$
(1)

где каждое слагаемое есть произведение величины выпуска соответствующего вида продукции в выбранных единицах на стоимость единицы этой продукции в рублях. Числа ${{a}_{ik}}$ образуют матрицу $A$ с $m$ (у нас $m=5$) строками и $s$ (у нас $s=4$) столбцами. Такую матрицу принято называть произведением матриц $X$ и $Λ$:

$A=XΛ.$

Итак, если $X$ является $(m×n)$‑матрицей, а $A$ — $(n×s)$‑матрицей, то их произведением называют ($m×s)$‑матрицу $A=XΛ$, состоящую из элементов, определяемых по формуле (1). При умножении квадратных матриц $n$‑го порядка снова получается квадратная матрица $n$‑го порядка.

Особую роль играет матрица $E$

$E=\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ \end{matrix}$

у которой вдоль диагонали из верхнего левого угла в правый нижний стоят единицы, а остальные элементы равны нулю; для любой квадратной матрицы $n×n$ $X$ имеем: $XE=EX=X$, т. е. она играет роль единицы. Если определитель квадратной матрицы $X$ отличен от нуля, то существует обратная ей матрица ${{X}^{-1}}$, такая, что $X{{X}^{-1}}={{X}^{-1}}X=E$. Возникает матричная алгебра, в которой верны многие правила обычной алгебры, например $(XY)Z=X(YZ),$, $X(Y+Z)=XY+XZ$ и т.д. Однако умножение не является коммутативным, т. е., вообще говоря, $XY\ne YX$.

Впервые матрицы встретились в математике в связи с решением систем линейных уравнений. С системой уравнений

$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{a}_{11}}{{x}_{1}}+\ldots +{{a}_{1n}}{{x}_{n}}={{l}_{1}} \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\ {{a}_{m1}}{{x}_{1}}+\ldots +{{a}_{mn}}{{x}_{n}}={{l}_{m}} \\ \end{array} \right.$
(2)

связаны матрица $A=({{a}_{ij}})$, составленная из коэффициентов этих уравнений, и расширенная матрица, получаемая добавлением к матрице $A$ столбца свободных членов. Операции, производимые при решении системы уравнений (2), можно выполнять непосредственно над расширенной матрицей. Такую запись решения применяли древнекитайские математики во II в. до н. э., а в европейской науке матричная запись систем линейных уравнений применяется с XIX в.

В наши дни теория матриц находит обширные приложения в вычислительной математике, физике, экономике и других областях науки.