Квадратное уравнение

Материал из Юнциклопедии
(перенаправлено с «КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ»)
Перейти к: навигация, поиск

Квадратным называют алгебраическое уравнение 2‑й степени, т. е. уравнение вида

$a{{x}^{2}}+bx+c=0$, где $a\ne 0$.
(1)

Выражение $D={{b}^{2}}-4ac$ называют дискриминантом квадратного трехчлена $a{{x}^{2}}+bx+c$. Уравнение (1) имеет два корня:

Квадратное уравнение 1.png

При этом если D > 0, то корни действительные и различные, при D = 0 корни совпадают (говорят, что уравнение имеет корень кратности два), при D < 0 корни комплексные (комплексно сопряженные). Для приведенного квадратного уравнения

x2 + px + q = 0

формула корней имеет вид

Квадратное уравнение 2.png

а для уравнения ax2 + 2bx + c = 0 (с четным коэффициентом при x) — вид

Квадратное уравнение 3.png

Для коэффициентов и корней квадратного уравнения (1) выполняются соотношения:

Квадратное уравнение 4.png

Эти соотношения называют теоремой Виета, по имени французского математика Ф. Виета (1540–1603).

Особенно удобна эта теорема для приведенного квадратного уравнения:

x1 + x2 = −p, x1x2 = q.

Уравнения 2‑й степени умели решать еще в Древнем Вавилоне во II тысячелетии до н. э. Математики Древней Греции решали квадратные уравнения геометрически; например, Евклид — при помощи деления отрезка в среднем и крайнем отношениях. Задачи, приводящие к квадратным уравнениям, рассматриваются во многих древних математических рукописях и трактатах. Приведем задачу из китайского трактата «Математика в девяти книгах» (приблизительно II в. до н. э.).

«Имеется город с границей в виде квадрата со стороной неизвестного размера, в центре каждой стороны находятся ворота. На расстоянии 20 бу (1 бу = 1,6 м) от северных ворот (вне города) стоит столб. Если пройти от южных ворот 14 бу прямо, затем повернуть на запад и пройти еще 1 775 бу, то можно увидеть столб. Спрашивается: какова сторона границы города?» Обозначим сторону квадрата через x. Из подобия треугольников BED и ABC (рис. 1) получим

k/(0.5x) = (k + x + l)/d

Поэтому, чтобы определить неизвестную сторону квадрата, получаем квадратное уравнение

x2 + (k + l)x − 2kd = 0.

В данном случае уравнение имеет вид

x2 + 34x − 71 000 = 0,

откуда x = 250 (бу).

Отрицательных корней (в данном случае x = −284) китайские математики не рассматривали, хотя в этом же трактате содержатся операции с отрицательными числами.

Формула корней квадратного уравнения «переоткрывалась» неоднократно. Один из первых дошедших до наших дней выводов этой формулы принадлежит индийскому математику Брахмагупте (около 598 г.). Среднеазиатский ученый аль‑Хорезми (IX в.) в трактате «Китаб аль‑джебр валь‑мукабала» получил эту формулу методом выделения полного квадрата с помощью геометрической иллюстрации. Суть его рассуждений видна из рис. 2 (он рассматривает уравнение x2 + 10x = 39). Площадь большого квадрата равна (x + 5)2. Она складывается из площади x2 + 10x фигуры, закрашенной голубым цветом, равной левой части рассматриваемого уравнения, и площади четырех квадратов со стороной 5/2, равной 25. Таким образом,

(x + 5)2 = 39 + 25; x + 5 = ±8; x1 = 3; x2 = −13.

К квадратным уравнениям сводятся многие уравнения путем замены переменной.

Приведем некоторые примеры.

1. Биквадратное уравнение

ax4 + bx2 + c = 0

сводится к квадратному заменой x2 переменной y.

2. Уравнение (x + 1)2 − 6/(x2 + 2x) = −4 заменой y = x2 + 2x сводится к квадратному уравнению y2 + 5y − 6 = 0, корни которого y1 = 1, y2 = −6. Из двух уравнений x2 + 2x = 1 и x2 + 2x = −6 действительные решения имеет только первое: x = −1 + √2.

3. Уравнения

4x − 2x + 1 − 3 = 0, cos 2x = sin x + 1, lg2(x2) + lg x = 1

сводятся к квадратным заменами соответственно y = 2x, y = sin x и y = lg x.

4. Уравнение

x2/3 + 48/x2 = 10(x/3 + 4/x)

сводится к квадратному уравнению заменой

y = x/3 + 4/x (здесь x2/3 + 48/x2 = 3(x/3 + 4/x)2 − 8 = 3y2 − 8; 3y2 − 10y − 8 = 0; y1 = −2/3, y2 = 4).

Из получаемых уравнений

x/3 + 4/x = −2/3 и x/3 + 4/x = 4

корни имеет только второе: x = 2(3 ± √6). Вообще, замена y = x + k/x — одна из наиболее часто встречающихся замен. Например, с помощью такой замены к квадратному уравнению (после деления обеих частей уравнения на x2) сводится уравнение вида

ax4 + bx3 + cx2 + kbx + k2a = 0.
(2)

Уравнение (2) обычно называют возвратным или обобщенно-симметрическим.

5. Однородные уравнения

9x = 6x + 2•4x и 2sin2x + 5 sin x cos x + 2cos2x = 0 сводятся к квадратным уравнениям относительно y заменами соответственно y = (3/2)x и y = tg x после деления обеих частей первого уравнения на 4x, второго — на cos2x. Для второго уравнения предварительно проверяется, удовлетворяют ли уравнению те значения x, для которых cos x = 0.

6. Уравнение

x4 + (x + 2)4 = 82,

«симметричное» относительно x + 1, сводится к биквадратному уравнению y4 + 6y2 = 40 заменой y = x + 1; аналогично уравнение (x + 1)(x + 2)(x + 4)(x + 5) = 40, «симметричное» относительно x + 3, сводится к биквадратному уравнению (y2 − 1)(y2 − 4) = 40 заменой y = x + 3. Отметим, что для второго уравнения годится и замена y = x2 + 6x, тогда (x + 1)(x + 5) = y + 5; (x + 2)(x + 4) = y + 8.

См. также

Квадратный трёхчлен