Дифференциальные уравнения

Материал из Юнциклопедии
(перенаправлено с «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ»)
Перейти к: навигация, поиск

Математический анализ как анализ переменных величин с момента своего появления развивался в тесной связи с естествознанием, и в частности с физикой и механикой. Потребности развития физических наук, необходимость количественного изучения движения и меняющихся процессов привели к возникновению и формированию основных понятий дифференциального исчисления и интегрального исчисления. Понятие дифференциального уравнения — одно из основных. Чтобы разъяснить это понятие, рассмотрим, из чего складывается изучение какого-либо физического процесса. Это — создание физической гипотезы, основанной на эксперименте, математическая форма записи физической гипотезы, математическое решение этой задачи и физическое толкование выводов из её решения. Такой подход к изучению явлений природы впервые был предложен итальянским ученым Г. Галилеем (1564–1642). Впервые его блестяще применил один из создателей математического анализа — И. Ньютон. Математически сформулировать физические законы оказалось возможным лишь с появлением математического анализа и на его языке.

В очень большом числе случаев физические законы описывают некоторые соотношения между величинами, характеризующими изучаемый процесс, и скоростью изменения этих величин. Другими словами, эти законы выражаются равенствами, в которых участвуют неизвестные функции и их производные. Такие равенства называются дифференциальными уравнениями. Они появляются как математическая форма записи ряда физических законов. Изучение процессов, описываемых этими законами, сводится к изучению свойств решений дифференциальных уравнений. Поясним это на примерах.

Пусть тело (например, металлическая пластина), нагретое до температуры y0, в момент времени t = 0 погружается в очень большой сосуд с воздухом нулевой температуры. Очевидно, тело начнет охлаждаться, и его температура будет функцией времени t. Обозначим её y(t).

Согласно закону охлаждения Ньютона, скорость изменения температуры тела, т. е. производная dy/dt пропорциональна разности температур тела и окружающей среды, в данном случае пропорциональна y(t). Таким образом получаем, что в каждый момент времени справедливо соотношение

$\frac{dy}{dt}=-ky$
(1)

(k — положительный коэффициент, зависящий от материала тела, знак «минус» потому, что температура убывает).

Это соотношение (1) в виде дифференциального уравнения является математической записью закона охлаждения, которое выражает зависимость между функцией (температурой) и её производной в один и тот же момент времени. Его также называют математической моделью рассматриваемого процесса.

Решить дифференциальное уравнение — значит найти все функции y(t), которые обращают уравнение в тождество. Все решения приведенного выше дифференциального уравнения даются формулой

$y=C{{e}^{-kt}}$

(где C — произвольная постоянная), которая представляет собой его общее решение. Нахождение решения дифференциального уравнения всегда связано с операцией интегрирования, поэтому вместо слова «решить» часто употребляется глагол «проинтегрировать» (дифференциальное уравнение).

В процессе охлаждения тела, который мы рассматриваем, нас интересует лишь то решение, которое в момент времени t = 0 принимает значение y0. Подставляя в приведенную выше формулу t = 0, находим: C = y0. Значит, закон охлаждения окончательно можно выразить так:

$y(t)={{y}_{0}}{{e}^{-kt}}.$

Как видим, температура тела с течением времени понижается по показательному (экспоненциальному) закону и стремится к температуре окружающей среды (рис. 1).

Дифференциальные уравнения. Рис. 1.jpg

Условие $y(0)={{y}_{0}}$ принято называть начальным, оно позволяет из бесконечного множества решений выбрать единственное.

Рассмотренное дифференциальное уравнение (1) выражает тот факт, что скорость изменения функции пропорциональна (с коэффициентом −k) самой функции. Такая зависимость наблюдается и в других явлениях природы, например падение атмосферного давления в зависимости от высоты над уровнем моря пропорционально величине давления. Еще пример — радиоактивный распад: скорость уменьшения массы радиоактивного вещества пропорциональна количеству этого вещества. Следовательно, атмосферное давление у как функция высоты t над уровнем моря и масса радиоактивного вещества y как функция времени t удовлетворяют уравнению (1). Как видим, одно и то же дифференциальное уравнение может служить математической моделью совершенно разных явлений.

Дифференциальные уравнения. Рис. 2.jpg

Рассмотрим небольшой шарик массой m, к которому прикреплена горизонтально расположенная пружина. Другой её конец закреплен (рис. 2). Направим ось Ox вдоль оси пружины, за начало координат примем положение равновесия шарика. Если немного сместить шарик вдоль оси, то возникнет упругая сила F, стремящаяся вернуть его в положение равновесия. По закону Гука, эта сила пропорциональна смещению x, т. е. F = −kx (k — положительная константа, характеризующая упругие свойства пружины, знак «минус» ставится потому, что сила восстанавливающая). Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на тело массой m, равна произведению массы на ускорение a:

$F=ma.$

Если же x(t) — положение шарика в момент времени t, то его ускорение выражается второй производной x″(t). Таким образом, движение шарика под действием упругих сил можно выразить дифференциальным уравнением

$m{x}''(t)=-kx(t),$

которое чаще записывается в виде


${x}''(t)+{{\omega }^{2}}x(t)=0,$ где ${{\omega }^{2}}=k/m.$

Это уравнение называется дифференциальным уравнением гармонических колебаний. Можно доказать, что любое его решение может быть записано в виде

$x(t)=A\cos (\omega t+\varphi ),$

здесь А и φ — произвольные постоянные. Движения, характеризуемые таким уравнением, называются гармоническими колебаниями. Они представляют собой периодическое движение (рис. 3) с периодом T = 2π/ω; величина А называется амплитудой колебания.

Дифференциальные уравнения. Рис. 3.jpg

Очевидно, что дифференциальное уравнение ${x}''(t)+{{\omega }^{2}}x(t)=0$ не вполне определяет движение шарика. Оно зависит от того, на какую величину x0 шарик был смещен в момент времени t = 0 и с какой скоростью $v={x}'(0)$ он отпущен, т. е. зависит от начальных данных. Если, например, скорость была нулевой, то движение шарика будет подчиняться закону

$x(t)={{x}_{0}}\cos \omega t.$

Полученное нами выше дифференциальное уравнение есть математическая форма записи (математическая модель) закона движения под действием только силы упругости. Если рассмотреть движение шарика в среде, оказывающей сопротивление, и предположить, что кроме сил упругости на шарик действует сила сопротивления, пропорциональная скорости движения, то дифференциальное уравнение такого движения будет иметь вид:

$m{x}''(t)+c{x}'(t)+kx(t)=0.$

Решения этого уравнения уже не являются периодическими функциями, а представляют собой колебания с изменяющейся амплитудой, так называемые затухающие колебания (рис. 4).

Дифференциальные уравнения. Рис. 4.jpg

Если неизвестная функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным; таковы рассмотренные выше уравнения. Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в него. Как видим, уравнение $dy/dt=-ky$ первого порядка, уравнение ${x}''(t)+{{\omega }^{2}}x(t)=0$ — второго.

Если неизвестная функция зависит от нескольких переменных, то дифференциальное уравнение содержит её частные производные и называется дифференциальным уравнением с частными производными. Такие уравнения описывают, например, колебание мембраны, распространение тепла в некоторой среде, движение спутника.

Дифференциальные уравнения — важный математический аппарат в естествознании. Они применяются в физике и астрономии, аэродинамике и теории упругости, химии и экономике, биологии и медицине.

Дифференциальное уравнение первого порядка вида $dx/dt=f(x,t)$ допускает простую геометрическую интерпретацию. Если $x=\varphi (t)$ — его решение, то это уравнение в каждой точке кривой $x=\varphi (t)$ задает значение производной $dx/dt$, т. е. значение тангенса угла наклона касательной. Таким образом, в каждой точке области определения функции $f(x,t)$ задается угловой коэффициент касательной к решению, как говорят, задается поле направлений. Геометрически поле направлений обычно изображается единичными векторами. На рис. 5 представлено поле направлений дифференциального уравнения $dx/dt={{t}^{2}}+{{x}^{2}}$.

Дифференциальные уравнения. Рис. 5.jpg

Решение дифференциального уравнения есть кривая, которая в каждой точке касается поля направлений, её называют интегральной кривой. Рис. 5 позволяет довольно ясно представить, как должны выглядеть интегральные кривые этого уравнения.

В XVIII в. теория дифференциальных уравнений выделилась из математического анализа в самостоятельную математическую дисциплину. Её успехи связаны с именами швейцарского ученого И. Бернулли, французского математика Ж. Лагранжа и особенно Л. Эйлера. Первый период развития дифференциальных уравнений был связан с успешным решением некоторых важных прикладных задач, приводящих к дифференциальным уравнениям, разработкой методов интегрирования различных видов дифференциальных уравнений и поиском классов интегрируемых уравнений, т. е. таких, решение которых может быть найдено в квадратурах (в виде элементарных функций или их первообразных). Однако очень скоро выяснилось, что интегрируемых уравнений совсем не много. Даже уравнение первого порядка очень простого вида может не интегрироваться в квадратурах. Например, уравнение, для которого на рис. 5 было изображено поле направлений, имеет бесконечно много решений, но они не выражаются в квадратурах.

Установление таких фактов привело к развитию собственно теории дифференциальных уравнений, которая занимается разработкой методов, позволяющих по свойствам дифференциального уравнения определять свойства и характер его решения.