Вектор

Материал из Юнциклопедии
(перенаправлено с «ВЕКТОР»)
Перейти к: навигация, поиск

Вектор — одно из основных геометрических понятий. Вектор характеризуется числом (длиной) и направлением. Наглядно его можно представить себе в виде направленного отрезка, хотя, говоря о векторе, правильнее иметь в виду целый класс направленных отрезков, которые все параллельны между собой, имеют одинаковую длину и одинаковое направление (рис. 1). Примерами физических величин, которые имеют векторный характер, могут служить скорость (поступательно движущегося тела), ускорение, сила и др.

Понятие вектора появилось в работах немецкого математика XIX в. Г. Грассмана и ирландского математика У. Гамильтона; затем оно было охотно воспринято многими математиками и физиками. В современной математике и её приложениях это понятие играет важнейшую роль. Векторы применяются в классической механике Галилея-Ньютона (в её современном изложении), в теории относительности, квантовой физике, в математической экономике и многих других разделах естествознания, не говоря уже о применении векторов в различных областях математики.

Каждый из направленных отрезков, составляющих вектор (рис. 1), можно назвать представителем этого вектора. Вектор, представителем которого является направленный отрезок, идущий от точки $A$ к точке $B$, обозначается через $\overrightarrow{AB}.$ На рис. 1 имеем $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD},$ т. е. $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ — это один и тот же вектор (представителями которого являются оба направленных отрезка, выделенных на рис. 1). Иногда вектор обозначают малой буквой со стрелкой: $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}.$

Вектор, изображаемый направленным «отрезком», у которого начало и конец совпадают, называется нулевым; он обозначается через $\overrightarrow{0},$ т. е. $\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}.$. Два параллельных вектора, имеющих одинаковые длины, но противоположные направления, называются противоположными. Если вектор обозначен через $\overrightarrow{a},$ то противоположный ему вектор обозначается через $−\overrightarrow{a}.$

Назовем основные операции, связанные с векторами.

$\text{I}.$ Откладывание вектора от точки. Пусть $\overrightarrow{a}$ — некоторый вектор и $A$ — точка. Среди направленных отрезков, являющихся представителями вектора $\overrightarrow{a},$ имеется направленный отрезок, начинающийся в точке $A.$ Конец $B$ этого направленного отрезка называется точкой, получающейся в результате откладывания вектора $\overrightarrow{a}$ от точки $A$ (рис. 2). Эта операция обладает следующим свойством:

${{\text{I}}_{1}}.$ Для любой точки $A$ и любого вектора $\overrightarrow{a}$ существует, и притом только одна, точка $B,$ для которой $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}.$

Сложение векторов. Пусть $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ - два вектора. Возьмем произвольную точку $A$ и отложим вектор $\overrightarrow{a}$ от точки $A,$ т. е. найдем такую точку $B,$ что $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$ (рис. 3). Затем от точки $B$ отложим вектор $\overrightarrow{b},$ т. е. найдем такую точку $C,$ что $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}.$ Вектор $\overrightarrow{AC}$ называется суммой векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ и обозначается через $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}.$ Можно доказать, что сумма $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}A$, т. е. если заменить $A$ другой точкой ${{A}_{1}},$ то получится вектор $\overrightarrow{{{A}_{1}}{{C}_{1}}},$ равный $\overrightarrow{AC}$ (рис. 3). Из определения суммы векторов вытекает, что для любых трех точек $A,B,C$ справедливо равенство

${{\text{I}}_{2}}:$ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$

(«правило трех точек»). Если ненулевые векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ не параллельны, то их сумму удобно находить с помощью правила параллелограмма (рис. 4).

$\text{II}.$ Основные свойства суммы векторов выражают следующие 4 равенства (справедливые для любых векторов $\overrightarrow{a},$ $\overrightarrow{b,}$ $\overrightarrow{c}$):

${{\text{II}}_{1}}.$ $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}.$

${{\text{II}}_{2}}.$ $\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}.$

${{\text{II}}_{3}}.$ $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{a}.$

${{\text{II}}_{4}}.$ $\overrightarrow{a}+(−\overrightarrow{a})=\overrightarrow{0}.$

Заметим еще, что сумма нескольких векторов находится последовательным нахождением суммы двух из них. Например:

$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}=((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c})+\overrightarrow{d}.$

При этом, в каком бы порядке мы ни складывали заданные векторы, результат (как это вытекает из свойств, названных в пунктах ${{\text{II}}_{1}}$ и ${{\text{II}}_{2}}$ всегда будет одним и тем же. Например:

$\overrightarrow{a}+((\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})+\overrightarrow{d})=(\overrightarrow{d}+\overrightarrow{a})+(\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}).$

Далее, геометрически сумма нескольких векторов $\overrightarrow{{{a}_{1}}},\overrightarrow{{{a}_{1}}}\ …\ \overrightarrow{{{a}_{k}}}$ может быть получена следующим образом: надо направленные отрезки, являющиеся представителями этих векторов, последовательно отложить друг за другом (т.е. так, чтобы начало второго направленного отрезка совпадало с концом первого, начало третьего - с концом второго и т.д.); тогда вектор $\overrightarrow{{{a}_{1}}}+\overrightarrow{{{a}_{1}}}+…+\overrightarrow{{{a}_{k}}}$ будет иметь своим представителем «замыкающий» направленный отрезок, идущий от начала первого к концу последнего (рис. 5). (Заметим, что если при таком последовательном откладывании получается «замкнутая векторная ломаная», то $\overrightarrow{{{a}_{1}}}+\overrightarrow{{{a}_{1}}}+…+\overrightarrow{{{a}_{k}}}=0.$)

$\text{III}.$ Умножение вектора на число. Пусть $\overrightarrow{a}$ — ненулевой вектор и $k$ — отличное от нуля число. Через $k\overrightarrow{a}$ обозначается вектор, определяемый следующими двумя условиями: а) длина вектора $k\overrightarrow{a}$ равна $|k||\overrightarrow{a}|$ б) вектор $k\overrightarrow{a}$ параллелен вектору $\overrightarrow{a},$ причем его направление совпадает с направлением вектора $\overrightarrow{a}$ при $k>0$ и противоположно ему при $k<0$ (рис. б). Если справедливо хотя бы одно из равенств $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0},$ $k=0,$ то произведение $k\overrightarrow{a}$ считается равным $\overrightarrow{0}.$ Таким образом, произведение $k\overrightarrow{a}$ определено для любого вектора $\overrightarrow{a}$ и любого числа $k.$

Следующие 4 равенства (справедливые для любых векторов $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ и любых чисел $k,l$) выражают основные свойства операции умножения вектора на число:

${{\text{III}}_{1}}.$ $k(l\overrightarrow{a})=(kl)\overrightarrow{a}.$

${{\text{III}}_{2}}.$ $(k+l)\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{a}+l\overrightarrow{a}.$

${{\text{III}}_{3}}.$ $k(\vec{a}+\overrightarrow{b})=k\vec{a}+k\overrightarrow{b}.$

${{\text{III}}_{4}}.$ $1\vec{a}=\vec{a}.$

Из этих свойств вытекает ряд дальнейших фактов, связанных с рассмотренными операциями над векторами. Отметим некоторые из них, часто применяемые при решении задач.

а) Если $M$ — такая точка отрезка $AB,$ что $|AM|:|BM|=k,$ то для любой точки $O$ справедливо равенство $\overrightarrow{OM}=(\overrightarrow{OA}+k\overrightarrow{OB})/(k+1),$ в частности если $M$ — середина отрезка $AB,$ то $\overrightarrow{OM}=(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})/2.$

б) Если $M$ — точка пересечения медиан треугольника $ABC,$ то $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0};$ кроме того, для любой точки $O$ справедливо равенство $\overrightarrow{OM}=(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})/3$ (обратные теоремы также справедливы).

в) Пусть $M$ — точка прямой $l$ и $\overrightarrow{a}$ — ненулевой вектор, параллельный этой прямой. Точка $A$ в том и только в том случае принадлежит прямой $l,$ если $\overrightarrow{MA}=k\vec{a}$ (где $k$ — некоторое число).

г) Пусть $M$ — точка плоскости $α$ и $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ — ненулевые и непараллельные между собой векторы, параллельные этой плоскости. Точка $A$ в том и только в том случае принадлежит плоскости $α,$ если вектор $\overrightarrow{MA}$ выражается через $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b},$ т. е. $\overrightarrow{MA}=k\vec{a}+l\vec{b}.$

Наконец, отметим еще свойство размерности, выражающее тот факт, что пространство трехмерно.

$\text{IV}.$ В пространстве существуют такие три вектора $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},$ что ни один из них не выражается через два других; любой четвертый вектор $\overrightarrow{p}$ выражается через эти три вектора: $\overrightarrow{p}=k\overrightarrow{a}+l\overrightarrow{b}+m\overrightarrow{c}.$

Например, $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ — три ненулевых вектора, направленных вдоль ребер параллелепипеда, исходящих из одной вершины, то эти векторы $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ обладают свойством $\text{IV}.$ (рис. 7).

$\text{V}.$ Скалярное произведение $(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$ векторов a и b определяется равенством:

$(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cosφ$ при $\overrightarrow{a}≠\overrightarrow{0}$ и $\overrightarrow{b}≠\overrightarrow{0}$ где φ - угол между векторами $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b};$

$(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=0,$ если хотя бы один из векторов $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ равен $\overrightarrow{0}.$

Следующие 4 соотношения (справедливые для любых векторов a, b, c и любого числа k) выражают основные свойства операции скалярного умножения векторов:

${{\text{V}}_{1}}.$ $(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=(\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}).$

${{\text{V}}_{2}}.$ $(k\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=k(\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}).$

${{\text{V}}_{3}}.$ $(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})+(\overrightarrow{a},\overrightarrow{c}).$

${{\text{V}}_{4}}.$ Если $\overrightarrow{a}≠0,$ то ${{\overrightarrow{a}}^{2}}>0$ (здесь через ${{\overrightarrow{a}}^{2}}$ обозначено скалярное произведение вектора $\overrightarrow{a}$ на себя).

Заметим в связи со свойством ${{\text{V}}_{4}},$ что число ${{\overrightarrow{a}}^{2}}$ равно квадрату длины вектора $\overrightarrow{a},$ т. е. ${{\overrightarrow{a}}^{2}}=|\overrightarrow{a}{{|}^{2}}.$

Со скалярным произведением связано понятие ортогональности: два вектора $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ называются ортогональными, если $(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=0.$ Иначе говоря, если векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ ортогональны, то либо они оба ненулевые и образуют прямой угол, либо хотя бы один из этих векторов равен $\overrightarrow{0}$ (и тогда угол между ними не определяется).

Перечисленные выше свойства векторных операций во многом похожи на свойства сложения и умножения чисел. В то же время вектор геометрический объект, и в определении векторных операций используются такие геометрические понятия, как длина и угол; этим и объясняется польза векторов для геометрии (и её приложений к физике и другим областям знания). Однако для решения геометрических задач с помощью векторов необходимо прежде всего научиться «переводить» условие геометрической задачи на векторный «язык». После такого «перевода» осуществляются алгебраические вычисления с векторами, а затем полученное векторное решение снова «переводится» на геометрический «язык». В этом и состоит векторное решение геометрических задач.

При изложении курса геометрии в школе вектор дается как определяемое понятие (см. Определение), и потому принятая в школьном учебнике аксиоматика (см. Аксиоматика и аксиоматический метод) геометрии ничего не говорит о свойствах векторов, т. е. все эти свойства должны доказываться как теоремы. Существует, однако, и другой путь изложения геометрии, при котором первоначальными (неопределяемыми) понятиями считаются вектор и точка, а отмеченные выше свойства ${{\text{I}}_{1}},$ ${{\text{I}}_{2}},$ ${{\text{II}}_{1}—{\text{II}}_{4}},$ ${{\text{III}}_{1}—{\text{III}}_{4}},$ $\text{IV},$ ${{\text{V}}_{1}—{\text{V}}_{4}}$ принимаются за аксиомы. Такой путь построения геометрии был предложен в 1917 г. немецким математиком Г. Вейлем. Здесь прямые и плоскости являются определяемыми понятиями. Преимущество такого построения в его краткости и в органической связи с современным пониманием геометрии как в самой математике, так и в других областях знания. В частности, аксиомы ${{\text{II}}_{1}—{\text{II}}_{4}},$ ${{\text{III}}_{1}—{\text{III}}_{4}}$ вводят так называемое векторное пространство, используемое в современной математике, в физике, математической экономике и т.д.